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\begin{document}

\tableofcontents

.\newpage

\markboth{}{}

\begin{equation*}
\fbox{\textbf{Remerciment}}
\end{equation*}

\ \ \ \ Tout d'abord, je veux remercier beaucoup mon dieu \textbf{ALLAH.}

\ \ \ \ Je veux profiter de cette occasion pour prsenter mes remerciements 
Madame \textbf{Zediri Sounia }pour le choix du sujet de ce mmoire, ses
conseils judicieux, pour l'infinie patience ainsi pour les conseils qu'elle
ma donns tout au long de ce travail.

\ \ \ \ Je remercie toutes les personnes qui m'ont aid  la ralisation de
ce travail.

\ \ \ \ Je remercie galement les membres du \textbf{Jury} d'avoir accpt
d'examiner ce mmoire et de faire partie de \textbf{mon} \textbf{Jury.}

\ \ \ \ Je remercie aussi tous mes amis de leurs prsence et leur soutien
constant qui m'ont permis de raliser mes rves.

. \newpage

\markboth{}{}

\begin{equation*}
\fbox{$\mathbf{R\acute{e}sum\acute{e}}$}
\end{equation*}

\ \ \ \ Le but de ce mmoire est de prsenter des rsultats concernant les
systmes elliptiques coopratifs (linaires, semi-linaires et non lin%
aires). En se fondant sur le principe de maximum pour assurer la positivit
de la solution.

\ \ \ \ Pour le systme linaire, nous utilisons le lemme de Lax-Milgram
pour prouver l'existence et l'unicit de la solution, et nous tudions le
systme non coopratif de $n$ quations que nous insrons dans un systme
coopratif de $(n+1)$ quations pour obtenir le principe de maximum, mais le
systme semi-linaire et non linaire exigent l'application d'autre mthode,
on va utiliser la mthode de sous et sur solutions et le thorme de point
fixe de Schauder pour prouver l'existence de solution.

\textbf{Mots cls: }Systme coopratif, principe de maximum, existence de
solution positive faible, mthode de sous et sur solutions, thorme de
point fixe de Schauder.

. \newpage

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ 
\begin{equation*}
\fbox{$\mathbf{Abstract}$}
\end{equation*}

\ \ \ \ The aim of this memoir is to present results concerning cooperative
elliptic systems: linear, semi-linear and non linear. Based on the maximum
principle to ensure the positivity of \ the solution.

\ \ \ \ For the linear system, we use the Lax-Milgram lemma to prove the
existence and uniqueness of the solution, and we study a non cooperative
system of $n$ equations which we insert into a cooperative system of $(n+1)$
equations to obtain a maximum principle, but the semi-linear and non linear
system requir the application of another method, we will use the method of
super and sub solutions and Schauder's fixed point theorem to prove the
existence of the solution.

\textbf{Keywords: }Systme coopratif, the maximum principle, existence of
positive weak solution, method of super and sub solutions, Schauder's fixed
point theorem .

.\newpage

\markboth{}{}

\begin{equation*}
\fbox{$\mathbf{Introduction}$}
\end{equation*}

\ \ \ \ \ Nous tudions ici certains systmes elliptiques coopratifs d%
finis sur un domaine born $\Omega $ de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}.\ $Nous\ considrons le problme suivant: 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}u_{i}=\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\left\vert u_{j}\right\vert
^{p-2}u_{j}+f_{i}\ \ \ \text{dans }\Omega \\ 
u_{i}=0\ \ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

O les coefficients $a_{ij}\ (1\leq i,j\leq n)$ sont constants et $%
a_{ij}\geq 0$ pour $i\neq j$ (systmes coopratifs), l'oprateur $\Delta
_{p} $ dfini par $\Delta _{p}=\func{div}\left( \left\vert \nabla
u\right\vert ^{p-2}\nabla u\right) ,\ p>1$ s'appelle \textbf{p-Laplacien, }%
si $p=2$ nous obtenant le \textbf{Laplacien.}

\ \ \ \ \ Nous sommes concerns par l'existence de solutions positives et
avec la forme de \textbf{principe de maximum (positivit inverse) }suivante:%
\textbf{\ "l'hypothse }$f_{i}\geq 0$ \textbf{sur} $\Omega $ \textbf{implique%
} $u_{i}\geq 0$ \textbf{sur} $\Omega $ \textbf{pour tout solution} $%
U=(u_{i}) $".

\ \ \ \ \ L' un des outils les plus utiles et les plus connus utiliss dans
l'tude des quations diffrentielles parielles est \textbf{le principe de
maximum}. Il est un outils trs important pour de plusieurs questions
concernant les quations diffrentielles parielles, non seulement pour
prouver l'existence et l'unicit des solutions, mais aussi pour tudier
leurs proprits qualitatives comme positivits,...

\ \ \ \ \ Un excellent aperu du sujet jusqu'en 1967 peut tre trouv dans
le livre par \textbf{Protter }et\textbf{\ Weinberger} \textit{[26]}.
Plusieurs documents ont explor le principe de maximum pour diffrents syst%
mes (linaire, semi linaire et non linaire) impliquant les oprateurs
Laplacien et p-Laplacien.

\ \ \ \ Le principe de maximum a galement t tudi pour les systmes
elliptiques linaires. En particulier \textbf{de Figueiredo} et \textbf{%
Mitidieri}\textit{\ [12]} ont donn les conditions ncessaires et
suffisantes pour le principe de maximum. De plus, en \textit{[16]}, \textit{%
[29]} les auteurs ont dmontr des conditions suffisantes et ncessaires
pour avoir le principe de maximum et l'existence de solutions positives pour
les systmes elliptiques linaires coopratifs impliquant l'oprateur de
Laplace avec des coefficients constants. Aussi en \textit{[3]}, \textit{[16]}
les auteurs\textbf{\ }ont prsent les conditions ncessaires et suffisantes
pour avoir le principe de maximum et pour l'existence de solutions positives
pour les systmes elliptiques semi-linaires coopratifs impliquant l'op%
rateur de Laplace par l'utilisation de la mthode de sous et sur solutions,
cette mthode donne l'existence et la localisation d'une solution d'un probl%
me aux limites en prsence d'un couple de fonctions, appeles sous-solution
et sur-solution, bien ordonn. Elles peuvent tre considres comme des
approximations de la solution avec une erreur de signe constant. Ces r%
sultats ont t tendus en \textit{[16]} au systme elliptique non linaire
coopratif impliquant les oprateurs p-Laplacien avec des coefficients
constants.

\ \ \ \ \ Cet mmoire est rpartie en trois chapitres:

\ \ \ \ \ Dans le premier chapitre, on introduire quelques notions de base
ainsi que des rappels, qui seront utiliss dans certaines preuves et
applications.

\ \ \ \ \ Dans le deuxime chapitre, nous tudions les systmes elliptiques
coopratifs linairs puis les systmes semi-linairs, il est organis de la
manire suivante:

\ \ \ \ \ La premire section est un article de \textbf{J.Fleckinger}, 
\textbf{J.Hernndez} et \textbf{F.De Thlin }publi  " Differential and
Integral Equations" \textit{[16]}. Nous tudions dans cette section les syst%
mes elliptiques coopratifs concernant le Laplacien de deux quations, nous %
tablissons le principe de maximum pour assurer la positivit de la solution,
et on utilise le lemme de Lax-Milgram pour prouver l'existence et l'unicit
de la solution.

\ \ \ \ \ Et la deuxime section est un article de\textbf{\ H. M. Serag} et 
\textbf{A. H. Qamlo }\textit{[29]}, nous tudions les systmes elliptiques
coopratifs concernant le Laplacien de $n$ quations, et aussi on utilise le
lemme de Lax-Milgram pour prouver l'existence et l'unicit de solution
positive.

\ \ \ \ \ Dans la troisime section, nous prsentons une mthode utilise
par \textbf{D.G.de Figueiredo} et \textbf{Mitidieri }(voir \textit{[13]}) \
et par \textbf{H.M.Serag and A.H.Qamlo }\textit{[29] }pour insrer le syst%
me linaire non coopratif de $n$ quations dans un systme linaire coop%
ratif de $(n+1)$ quations.

\ \ \ \ \ Et la quaterime section est aussi est un article de \textbf{%
J.Fleckinger}, \textbf{J.Hernandez} et \textbf{F.De Thlin }\textit{[16]},
ils adaptent ici la mthode de sous et sur solutions et le thorme de point
fixe de Schauder pour prouver l'existence de solution pour le systme coop%
ratif semi-linaire.

\ \ \ \ \ Enfin dans la dernire section, nous avons adopt sur un article
de \textbf{Bndicte Alziary, Laure Cardoulis and Jacqueline Fleckinger-Pell%
} \textit{[3] pour }donner une gnralisation  un systme semi-linaire de $%
n$ quations.

\ \ \ \ \ Dans le dernier chapitre, nous tudions les systmes elliptiques
coopratifs concernant le p-Laplacien (voir \textit{[16])}. Ce chapitre est d%
vis en deux sections:

\ \ \ \ \ Dans la premire section, nous tudions le principe de maximum et
l'existence de solution positive pour une seul quation, et dans la deuxime
section, nous tudions le principe de maximum et l'existence de solutions
positives pour le p-Laplacien.

.\newpage\ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\begin{equation*}
\fbox{$\mathbf{Notations}$}
\end{equation*}

\ \ \ \ \ Dans toute la suite de ce mmoire, nous utiliserons les
conventions suivantes:

Si $\Omega $ dsigne un ouvert born de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$, on note par:

\begin{equation*}
\text{Notations gnrales}
\end{equation*}

\ \ \ 
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
$\Delta u=\tsum\limits_{i=1}^{i=N}\dfrac{\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}$
& Laplacien de $u.\text{\ }$ \\ \hline
$\nabla u=\left( \dfrac{\partial u}{\partial x_{1}},\dfrac{\partial u}{%
\partial x_{2}},\cdots ,\dfrac{\partial u}{\partial x_{n}}\right) $ & le
gradient de $u.$ \\ \hline
$\Delta _{p}u=\func{div}(\left\vert \nabla u\right\vert ^{p-2}\nabla u)$ & 
p- Laplacien de $u.$ \\ \hline
$D(A)$ & domaine de $A.$ \\ \hline
$\sigma (T)$ & $\sigma (T)$ spectre de l'oprateur $T.$ \\ \hline
$\rho (T)$ & $\rho (T)$ ensemble rsolvant de $T.$ \\ \hline
$VP(T)$ & $VP(T)$ ensemble des valeur propre de $T.$ \\ \hline
$B(x_{0},r)$ & $B(x_{0},r)=\left\{ x;\ \left\Vert x-x_{0}\right\Vert
<r\right\} $ boule ouverte, centr en $x_{0}$ de rayon $r.$ \\ \hline
$\delta _{n,m}$ & symbole de Kronecker \\ \hline
$(.,.)_{X}$ & le produit scalaire de $X.$ \\ \hline
$\left\Vert .\right\Vert _{X}$ & la norme de $X.$ \\ \hline
$\min $ & le minimum \\ \hline
$\max $ & le maximum \\ \hline
$\lim $ & La limite \\ \hline
$\func{div}$ & la divergence de $u.$ \\ \hline
$\eta (x)$ & la normale extrieure. \\ \hline
$p.p$ & presque pour tous les points. \\ \hline
$p^{\prime }$ & exposant conjugu de $p,$ c'est--dire $\dfrac{1}{p\ }+%
\dfrac{1}{p^{\prime }}.$ \\ \hline
$\hookrightarrow \hookrightarrow $ & injection compact. \\ \hline
$\hookrightarrow $ & injection continue. \\ \hline
$\left\vert \alpha \right\vert =\tsum\limits_{i=1}^{N}\alpha _{i}$ & la
longueur de $\alpha $ \\ \hline
$\lambda _{1}$ & la premire valeur propre de $-\Delta .$ \\ \hline
$\varphi _{1}$ & la fonction propre associe  la valeur propre $\lambda
_{1}.$ \\ \hline
$\partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha
_{2}}...\partial _{N}^{\alpha _{N}}$ & dsigne la drive faible d'une
fonction $u\in L_{loc}^{1}(\Omega )$. \\ \hline
$h^{+}$ & partie positive de $h.$ \\ \hline
$h^{-}\text{ }$ & partie ngative de $h.$ \\ \hline
\end{tabular}%
\ \ \ \ \ \ \ \ 

\begin{equation*}
\text{Espaces fonctionnels }
\end{equation*}

\ \ \ 
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
$\Omega \subset 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ & ouvert born. \\ \hline
$\partial \Omega $ & frontire de $\Omega .$ \\ \hline
$\overline{\Omega }$ & l'adhrence de $\Omega .$ \\ \hline
$\widetilde{\Omega }$ & $\widetilde{\Omega }\supset \Omega \cup \partial
\Omega $ \\ \hline
$W^{m,p}(\Omega )$ & espace de Sobolev avec drives d'ordre $m$ dans $%
L^{p}(\Omega ).$ \\ \hline
$W_{0}^{m,p}(\Omega )$ & espace de Sobolev avec trace nulle. \\ \hline
$W^{1,p},W_{0}^{1,p},H^{1},H_{0}^{1},H^{m}$ & espaces de Sobolev. \\ \hline
$L^{p}(\Omega )$ & $L^{p}(\Omega )=\left\{ u:\Omega \longrightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\text{ mesurable, }\tint\limits_{\Omega }\left\vert u\right\vert ^{p}\
dx<+\infty ,\ 1\leq p\leq \infty \right\} $ \\ \hline
$L^{p^{\prime }}(\Omega )$ & espace dual de $L^{p}(\Omega ),\ p^{\prime }=%
\dfrac{p}{p-1}.$ \\ \hline
$L^{2}(\Omega )$ & espace des fonctions de carres sommables. \\ \hline
$L_{loc}^{1}(\Omega )$ & espace des fonctions localement intgrables. \\ 
\hline
$C_{c}^{\infty }(\Omega )=C^{\infty }(\Omega )\cap C_{c}(\Omega )$ & 
ensemble des fonctions $C^{\infty }(\Omega )$ a support compact. \\ \hline
\end{tabular}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

\bigskip\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

.\newpage

\markboth{}{}

\chapter{Notions de base et dfinitions}

\ \ \ \ \ Dans ce chapitre, nous collectons plusieurs outils de base qui
seront ncessaires tout au long de ce mmoire. Le lien commun entre tous les
rsultats de ce chapitre, c'est qu'ils sont prparatoires pour les rsultats
principaux, qui sont contenues dans les chapitres suivantes. Dans la suite $%
\Omega $ sera un ouvert born de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ et nous utiliserons la mesure de Lebesgue.

\section{Fonctions de carr sommable et drivation faible}

\subsection{Quelque rappels d'intgration}

\ \ \ \ \ Tous les rsultats de cette section sont partie dans le cours de
mathmatique \textit{[2].}

Soit $\Omega $ un ouvert de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ muni de la mesure de Lebesgue. On dfinit l'espace $L^{2}(\Omega )$
des fonctions mesurables dans $\Omega $. 
\begin{equation*}
L^{2}(\Omega )=\left\{ f:\Omega \longrightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\text{ mesurable, dfinie p.p, }\tint\limits_{\Omega }f^{2}\ dx<+\infty
\right\}
\end{equation*}

Muni d'un produit scalaire:%
\begin{equation*}
\left\langle f,g\right\rangle =\tint\limits_{\Omega }f(x)g(x)\ dx
\end{equation*}

L' espace vectoriel muni d'un produit scalaire $L^{2}(\Omega )$ est un
espace de \textbf{Hilbert,} c'est--dire complet pour la norme:%
\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert _{L^{2}(\Omega )}=\left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert f(x)\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}

\ \ \ \ \ Rappelons que les fonctions mesurables dans $\Omega $ sont d%
finies presque partout dans $\Omega $: si on change les valeurs d'une
fonction mesurable $f$ sur un sous-ensemble de $\Omega $ de mesure nulle, on
ne change pas la fonction mesurable $f$. Autrement dit, deux fonctions
mesurables $f,g$ seront dites gales si $f(x)=g(x)$ presque partout dans $%
\Omega $, c'est--dire s'il existe $E\subset \Omega $ tel que la mesure de
Lebesgue de $\ E$ est nulle et $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in (\Omega \setminus
E)$

\begin{theorem}
L' espace $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ est dense dans $L^{2}(\Omega ),$c'est-%
-dire que pour \ tout $f\in L^{2}(\Omega )$ il existe une suite $f_{n}\in $ $%
C_{c}^{\infty }(\Omega )$ telle que%
\begin{equation*}
\underset{n\longrightarrow +\infty }{\lim }\left\Vert f-f_{n}\right\Vert
_{L^{2}(\Omega )}=0
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{corollary}
Soit $f\in L^{2}(\Omega ).\ $Si pour toute fonction $\varphi \in
C_{c}^{\infty }(\Omega )$ on a%
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }f(x)\varphi (x)\ dx=0
\end{equation*}

Alors $f(x)=0$ presque partout dans $\Omega .$
\end{corollary}

\subsection{Drivation faible}

\begin{definition}
Soit $v$ une fonction de $L^{2}(\Omega ).$ On dit que $v$ est drivable au
sens faible dans $L^{2}(\Omega )$ s'il existe des fonctions $w_{i}\in
L^{2}(\Omega ),$ pour $i=\left\{ 1,2,...,n\right\} ,$ telles que pour toute
fonction $\phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ).$

On a%
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }v(x)\frac{\partial \phi }{\partial x_{i}}(x)\
dx=-\tint\limits_{\Omega }w_{i}\phi (x)\ dx
\end{equation*}

Chaque $w_{i}$ est appel la i-me drive partielle faible de $v$ et note d%
sormais $\dfrac{\partial v}{\partial x_{i}}$
\end{definition}

\begin{lemma}
Soit $v$ une fonction de $L^{2}(\Omega ),$ s'il existe une constante $C>0$
telle que, pour tout fonction $\phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ et pour
tout indice $i=\left\{ 1,2,...,N\right\} ,$ on a%
\begin{equation*}
\left\vert \tint\limits_{\Omega }v(x)\frac{\partial \phi }{\partial x_{i}}%
(x)\ dx\right\vert \leq C\left\Vert \phi \right\Vert _{L^{2}(\Omega )}
\end{equation*}

Alors $v$ est drivable au sens faible.
\end{lemma}

\section{Les espaces de Sobolev}

\ \ \ \ \ Les espaces de Sobolev sont omniprsents dans l'tude des %
quations aux drives partielles elliptiques. Il s'avre donc judicieux d'en
faire une brve prsentation avant d'aborder ces quations. Nous reprenons
dans cette section certains noncs de \textbf{Brezis [5]} et\textbf{\
Kavian [21]} .

\subsection{les espaces de Sobolev $W^{m,p}(\Omega )$}

\begin{definition}
Soient $\Omega \subset 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ un ouvert et $1\leq i\leq n.$Une fonction $u\in L_{loc}^{1}(\Omega )$
a i-me drive faible dans $L_{loc}^{1}(\Omega )$ s'il existe $f_{i}\in
L_{loc}^{1}(\Omega )$ telle que pour tout $\varphi \in C_{c}^{\infty
}(\Omega )$ on ait 
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }u(x)\partial _{i}\varphi (x)\ dx=-\tint\limits_{\Omega
}f_{i}(x)\varphi (x)\ dx
\end{equation*}

Cela revient  dire que la i-me drive au sens des distributions de $u$
appartient  $L_{loc}^{1}(\Omega ).$Si $f_{i}$ est donne par la relation
ci-dessus, on posera%
\begin{equation*}
\partial _{i}u=\dfrac{\partial u}{\partial x_{i}}=f_{i}
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{definition}
Soit $\alpha \in N^{n},$ on note $\left\vert \alpha \right\vert
=\tsum\limits_{i=1}^{N}\alpha _{i}$ la longueur de $\alpha $ et $\partial
^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha
_{2}}...\partial _{n}^{\alpha _{N}}u$ dsigne la drive faible d'une
fonction $u\in L_{loc}^{1}(\Omega )$. Pour $1\leq p\leq \infty ,\ $l'espace
de Sobolev $W^{m,p}(\Omega )$ est dfinit par%
\begin{equation*}
W^{m,p}(\Omega )=\left\{ u\in L^{p}(\Omega ),\forall \alpha \in N^{n},\
\left\vert \alpha \right\vert \leq m,\ \ \partial ^{\alpha }u\in
L^{p}(\Omega )\right\}
\end{equation*}

L'espace $L^{p}(\Omega )$ tant muni de la norme $\left\Vert u\right\Vert
_{L^{p}(\Omega )}=\left\Vert u\right\Vert _{^{p}}$ (o pour $1\leq p\leq
\infty $ on note $\left\Vert u\right\Vert _{^{p}}^{p}=\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u(x)\ \right\vert ^{p}dx,$ on munit l'espace de Sobolev $%
W^{m,p}(\Omega )$ de la norme 
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{m,p}=\left\Vert u\right\Vert _{W^{m,p}(\Omega
)}=\left( \tsum\limits_{\left\vert \alpha \right\vert \leq m}\left\Vert
\partial ^{\alpha }u\right\Vert _{^{p}}^{p}\right) ^{\frac{1}{p}}
\end{equation*}
\end{definition}

Notons que par rcurrence, on a%
\begin{equation*}
W^{m,p}(\Omega )=\left\{ u\in W^{m-1,p}(\Omega );\ \frac{\partial u}{%
\partial x_{i}}\in W^{m-1,p}(\Omega )\ \ \ \ \ \forall i=1,2,\ldots
,n\right\}
\end{equation*}

Et si $p=\infty $ la norme de l'espace $W^{m,\infty }(\Omega )$ est%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{W^{m,\infty }(\Omega )}=(\sup \left\vert \partial
^{\alpha }u\right\vert )
\end{equation*}

On pose $H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega );\ H^{m}(\Omega )$ muni du produit
scalaire 
\begin{equation*}
(u,v)_{H^{m}(\Omega )}=\tsum\limits_{0\leq \left\vert \alpha \right\vert
\leq m}\left( D^{\alpha }u,D^{\alpha }v\right) _{L^{2}(\Omega )}
\end{equation*}

est un espace de \textbf{Hilbert}

\subsection{Les espaces $W^{1,p}(\Omega )$}

\ \ \ \ \ L' espace de Sobolev $W^{1,p}(\Omega )$ est dfini par 
\begin{equation*}
W^{1,p}(\Omega )=\left\{ 
\begin{array}{c}
u\in L^{p}(\Omega );\ \ \exists \ g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in L^{p}(\Omega
)\ \ \text{tel que } \\ 
\tint\limits_{\Omega }u\dfrac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}%
=-\tint\limits_{\Omega }g_{i}\varphi \ \ \ \forall \varphi \in C_{c}^{\infty
}(\Omega )\ \ \ \forall i=1,2,...,n%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}

On note $\dfrac{\partial u}{\partial x_{i}}=g_{i}$

\ \ \ \ \ L'espace $W^{1,p}(\Omega )$ est muni de la norme 
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}=\left( \left\Vert u\right\Vert
_{L^{p}(\Omega )}+\tsum\limits_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial u}{%
\partial x_{i}}\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}\right) ^{\frac{1}{p}}
\end{equation*}

O parfois de la norme quivalente%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}=\left( \left\Vert u\right\Vert
_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\tsum\limits_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial u}{%
\partial x_{i}}\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right) ^{\frac{1}{p}}
\end{equation*}

$\checkmark \ \ $Si $p=\infty ,$on muni $W^{1,\infty }(\Omega )$ de la norme%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{W^{1,\infty }(\Omega )}=\left( \text{supp}\
\left\vert u\right\vert +\text{supp}\ \left\vert \nabla u\right\vert \right)
\end{equation*}

$\checkmark \ \ $Si $p=2,$ on note $H^{1}(\Omega )=$ $W^{1,2}(\Omega )$

\subsubsection{Les espaces $H^{1}(\Omega )$}

\ \ \ \ \ Soit $\Omega $ un ouvert de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}.$ L'espace de Sobolev $H^{1}(\Omega )$ est dfini par 
\begin{equation*}
H^{1}(\Omega )=\left\{ v\in L^{2}(\Omega )\text{ tel que }\forall i=\left\{
1,2,...,n\right\} ,\ \frac{\partial v}{\partial x_{i}}\in L^{2}(\Omega )%
\text{ }\right\}
\end{equation*}

o $\dfrac{\partial v}{\partial x_{i}}$ est la drive partielle faible de $%
v $

Muni du produit scalaire%
\begin{equation*}
\left( u,v\right) _{H^{1}(\Omega )}=(u,v)_{L^{2}(\Omega
)}+\tsum\limits_{i=1}^{n}\left( \frac{\partial u}{\partial x_{i}},\frac{%
\partial v}{\partial x_{i}}\right) _{_{_{L^{2}(\Omega )}}}
\end{equation*}

et de la norme%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{H^{1}(\Omega )}=\left( \left\Vert u\right\Vert
_{_{_{L^{2}(\Omega )}}}+\tsum\limits_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial u}{%
\partial x_{i}}\right\Vert _{L^{2}(\Omega )}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\ 
\end{equation*}

L' espace de sobolev $H^{1}(\Omega )$ est un espace de Hilbert sparable
(voir \textit{[2]}).

\subsection{Les espaces $W_{0}^{1,p}(\Omega )$}

\begin{definition}
Soit $1\leq p\leq \infty .\ W_{0}^{1,p}(\Omega )$ dsigne la fermeture de $%
C_{0}^{1}(\Omega )$ dans $W^{1,p}(\Omega ),$ il est muni de la norme induite
par $W^{1,p}(\Omega )$ est un espace de Banach sparable
\end{definition}

\begin{corollary}
Une autre caractrisation de $W_{0}^{1,p}(\Omega );$ si est de classe $C^{1}$
et $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ avec $1\leq p\leq
\infty $ alors les proprits suivantes sont quivalentes:

$1)$ $u=0\ $sur $\partial \Omega .$

$2)\ u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$
\end{corollary}

\ \ \ \ \ On dsigne par $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$ l'espace dual de $%
W_{0}^{1,p}(\Omega ),\ (1\leq p\leq \infty )$ avec $\dfrac{1}{p\ }+\dfrac{1}{%
p^{\prime }}=1$

On note $H_{0}^{1}(\Omega )=W_{0}^{1,2}(\Omega )$

\ \ \ \ \ Dfinissons maintenant un autre espace de Sobolev qui est un
sous-espace de $H^{1}(\Omega )$ et qui nous sera trs utile pour les probl%
mes avec conditions aux limites de Dirichlet

\subsubsection{Espace $H_{0}^{1}(\Omega )$}

\ \ \ \ \ Soit $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ l'espace des fonctions de classe $%
C^{\infty }$  support compact dans $\Omega $. L' espace de Sobolev $%
H_{0}^{1}(\Omega )$ est dfini comme l'adhrence de $C_{c}^{\infty }(\Omega
) $ dans $H^{1}(\Omega )$%
\begin{equation*}
H_{0}^{1}(\Omega )=\left\{ v\in L^{2}(\Omega )\text{ tel que }\forall
i=\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\ \frac{\partial v}{\partial x_{i}}\in
L^{2}(\Omega ),\ \ u\left\vert _{\partial \Omega }\right. =0\text{ }\right\}
\end{equation*}

Muni d'un produit scalaire 
\begin{equation*}
\left\langle u,v\right\rangle =\tint\limits_{\Omega }\left( u(x)v(x)+\nabla
u(x)\nabla v(x)\right) \ dx
\end{equation*}

et de la norm%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{H_{0}^{1}(\Omega )}=\left( \tint\limits_{\Omega
}(\left\vert \nabla u(x)\right\vert ^{2}+\left\vert u(x)\right\vert ^{2})\
dx\right) ^{\frac{1}{2}}\ 
\end{equation*}

\ \ \ \ \ L' espace de Sobolev $H_{0}^{1}(\Omega )$ est un espace de \textbf{%
Hilbert }et est le sous-espace de $H^{1}(\Omega )$ constitu des fonctions
qui s'annulent sur le bord $\partial \Omega $.

\begin{corollary}
Soit $\Omega $ un ouvert de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ born dans au moins une direction de l'espace. Alors la semi-norme%
\begin{equation*}
\left\vert v\right\vert _{H_{0}^{1}(\Omega )}=\left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert \nabla v(x)\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}

est une norme sur $H_{0}^{1}(\Omega )$ quivalente  la norme usuelle
induite par celle de $H^{1}(\Omega )$
\end{corollary}

\ \ \ \ \ On note par $H^{-1}(\Omega )$ le dual de $H_{0}^{1}(\Omega ).$

\ \ \ \ \ On peut identifier $L^{2}$ et son dual, par consquent on a les
inclusions 
\begin{equation*}
H_{0}^{1}(\Omega )\hookrightarrow L^{2}(\Omega )\hookrightarrow
H^{-1}(\Omega )
\end{equation*}

avec injections continues.

\section{Dfinitions et notions}

\subsection{Quelques ingalits fonctionnelles}

\subsubsection{Ingalit de Hlder}

\begin{theorem}
\textit{[5]\ }

Soient $f\in L^{p}(\Omega )\ $et $g\in L^{p^{\prime }}(\Omega )$ avec $1\leq
p\leq \infty $ et $\dfrac{1}{p\ }+\dfrac{1}{p^{\prime }}=1,$ alors:%
\begin{equation*}
\text{ }f,g\in L^{1}(\Omega )\ \text{et }\tint\limits_{\Omega }\left\vert
f(x)g(x)\right\vert \ dx\leq \left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
f(x)\right\vert ^{p}\ dx\right) ^{\frac{1}{p}}\left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert g(x)\right\vert ^{p^{\prime }}\ dx\right) ^{\frac{1}{p^{\prime }}%
}
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
\left\Vert fg\right\Vert _{1}\leq \left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert
g\right\Vert _{p^{\prime }}
\end{equation*}
\end{theorem}

\subsubsection{Ingalit de Cauchy-Schwarz}

\begin{theorem}
\textit{[}5\textit{]}

Dans un espace pr-hildertien $H$, on a:%
\begin{equation*}
\forall x,y\in H,\ \left\vert (x,y)\right\vert \leq \left\Vert x\right\Vert
\left\Vert y\right\Vert
\end{equation*}%
o%
\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =(x,x)^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}
\end{theorem}

\subsubsection{Ingalit de Poincar}

\begin{theorem}
\textit{[2]}

Soit $\Omega $ un ouvert born dans au moins une direction de l'espace.
Alors il existe une constante $C>0$ pour toute fonction $v\in $ $%
H_{0}^{1}(\Omega )$ telle que 
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert v(x)\right\vert ^{2}\ dx\leq
C\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla v(x)\right\vert ^{2}\ dx
\end{equation*}
\end{theorem}

\subsubsection{La convergence domine de Lebesgue}

\begin{theorem}
\textit{[5]}

Soit $\left\{ f_{n}\right\} _{n\geq 1}$ une suite de fonctions de $%
L^{1}(\Omega )$ convergent presque partout vers une fonction mesurable $f.$
On suppose qu'il existe $g\in L^{1}(\Omega )$ telle que pour tout $n\geq 1,$
on ait 
\begin{equation*}
\left\vert f_{n}\right\vert \leq g\ \text{p.p sur }\Omega
\end{equation*}

Alors:%
\begin{equation*}
f\in L^{1}(\Omega )\text{ et }\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\Vert
f_{n}-f\right\Vert _{L^{1}}=0,\text{ et }\tint\limits_{\Omega }f(x)\
dx=\lim_{n\rightarrow +\infty }\tint\limits_{\Omega }f_{n}(x)\ dx
\end{equation*}
\end{theorem}

\subsubsection{Formule de Green}

\begin{definition}
\textit{[5]}

$\Omega $ dsigne un ouvert born de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n},\ \eta (x)$ est la normale extrieure au domaine $\Omega ,\ $pour tout
fonction $u$ de $W^{1,p}(\Omega ),$ on a la formule de Green: 
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }u\func{div}\varphi =\tint\limits_{\partial \Omega
}u\varphi .\eta -\tint\limits_{\Omega }\varphi \nabla u.
\end{equation*}
\end{definition}

\subsection{Quelques proprits sur les oprateurs}

\subsubsection{Analyse spectrale\textit{\ [17]}}

\ \ \ \ \ Soit $E$ un espace de Banach rel, et $T$ une application linaire
continue de $E$. On note:

$\bullet \ \sigma (T)=\left\{ \lambda \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
;\ T-\lambda I\text{ est non bijective}\right\} $ l'ensemble des valeurs
singulires de $T$

$\bullet \ \rho (T)=\left\{ \lambda \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
;\ T-\lambda I\text{ est bijective}\right\} =%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\backslash \sigma (T)\ $ l'ensemble des valeurs rgulires de $T$

$\bullet \ VP(T)=\left\{ \lambda \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
;\ T-\lambda I\text{ est non surjective}\right\} \ $l'ensemble des valeurs
propres de $T$

\ \ \ \ \ Lorsque $\dim \ E<+\infty $, on a $VP(T)=\sigma (T).$On a un r%
sultat similaire en dimension finie,  condition que l'oprateur $T\ $soit
linaire continu et compact.

\begin{theorem}
\lbrack 8]\textbf{(Oprateur compact)}

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach, Une application linaire continue $%
T\in \tciLaplace (E,F)$ est dite \textbf{compacte }si l'image $T(\overline{%
B_{E}})$ est une partie relativement compacte de $F.$
\end{theorem}

\begin{definition}
\lbrack 23]\textbf{(Oprateurs monotones)}

Soit $V$ un espace de Banach rflexif et sparable et $A$ une application de 
$V$ dans $V^{\prime }$

$A$ est monotone si:%
\begin{equation*}
\forall u,v\in V,\ \left\langle A(u)-A(v),u-v\right\rangle _{V,V^{\prime
}}\geq 0
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{definition}
\lbrack 23]\textbf{(Oprateurs pseudo monotone)}

Soit $V$ un espace de Banach et $V^{\prime }$ son dual topologique. On dit
que l'oprateur $A,$ dfinit de $V$ dans $V^{\prime }$ est un pseudo
monotone si:

$1)$ $A$ est born.

$2)\ $lorsque $u_{j}\rightarrow u$ dans $V$ faible et $\underset{%
j\longrightarrow \infty }{\lim }\sup \left( A(u_{j}),u-v\right) \geq \left(
A(u),u-v\right) ,\ \forall v\in V.$
\end{definition}

\begin{definition}
\lbrack 10]\textbf{(Injection continue)}

Soient $X$ and$\ Y$ deux espaces de Banach tels que $X$ $\subset Y$. On dit
que $X$ est continuellement injecte dans $Y,$ et on crit $X$ $%
\hookrightarrow Y$, si l'operateur d'identit%
\begin{equation*}
I:X\longrightarrow Y
\end{equation*}

est continue (i.e) $\exists C>0$ tel que 
\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert _{Y}\leq C\left\Vert x\right\Vert _{X},\ \ \forall
x\in X
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{definition}
\lbrack 10]\textbf{(Injection compact)}

Soient $X$ and$\ Y$ deux espaces norms tels que $X$ $\subset Y$. On dit que 
$X$ est compactement injecte dans $Y,$ et on crit $X$ $\hookrightarrow
\hookrightarrow Y$, si

$i)$ Il existe un constante $C$ telle que 
\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert _{Y}\leq C\left\Vert x\right\Vert _{X},\ \forall
x\in X
\end{equation*}

$ii)$ Chaque ensemble born dans $X$ est prcompact dans $Y.$
\end{definition}

\begin{definition}
\lbrack 17]\textbf{(Le Laplacien)}

Soit $A$ l'oprateur qui a une fonction $u$ associe $\Delta
u=\tsum\limits_{i=1}^{N}\partial _{i}^{2}u.$ Afin que cet oprateur ait un
sens, on le dfinit sur son \textbf{domaine\ }$D(A)$, c--d. l'ensemble%
\begin{equation*}
D(A)=\left\{ u\in H_{0}^{1}(\Omega );\ \Delta u\in L^{2}(\Omega )\ \right\}
\end{equation*}

et on dfini alors $A:D(A)\subset L^{2}(\Omega )\longrightarrow L^{2}(\Omega
),$ par $Au=\Delta u$
\end{definition}

\begin{definition}
Soient $A,B$ deux oprateurs linaires dfinis sur $V$ tel que:%
\begin{equation}
Au=\lambda Bu  \tag{E}
\end{equation}

Nous appelons valeur propre principale de $(E)$, toute valeur propre relle
associe  une fonction propre qui ne change pas de signe dans $V$. Si on a:$%
\ A=-\Delta ,$ et $B=I$, on peut caractris la premire valeur propre $%
\lambda _{1}$ de $-\Delta .$

\ Soit%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta u=\lambda u,\ x\in \Omega \\ 
u=0,\ x\in \partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Le problme consiste  trouver le couple $(\varphi _{1},\lambda _{1})$ tel
que:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta \varphi _{1}=\lambda _{1}\varphi _{1},\ \varphi _{1}>0,\ x\in \Omega
\\ 
\varphi _{1}=0,\ x\in \partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Et 
\begin{equation*}
\lambda _{1}=\inf \dfrac{\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla
u\right\vert ^{2}\ dx}{\dint\limits_{\Omega }\left\vert u\right\vert ^{2}\ dx%
}
\end{equation*}

Et on a:%
\begin{equation*}
\dint\limits_{\Omega }\nabla u\nabla \varphi _{1}\ dx=\lambda
_{1}\dint\limits_{\Omega }u\varphi _{1}\ dx,\ \forall u\in V
\end{equation*}

De mme pour le p-Laplacien on a la caractrisation de la premire valeur
propre $\lambda _{1}\ $suivante:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}u=\lambda _{1}\left\vert u\right\vert ^{p-2}u,\ \text{dans }%
\Omega \\ 
u=0,\ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Le problme consiste  trouver le couple $(\varphi _{1},\lambda _{1})$ tel
que:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta \varphi _{1}=\lambda _{1}\left\vert \varphi _{1}\right\vert
^{p-2}\varphi _{1},\ \varphi _{1}>0,\ \ \text{dans\ }\Omega \\ 
\varphi _{1}=0,\ \text{sur\ }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{definition}

et%
\begin{equation*}
\lambda _{1}=\inf \dfrac{\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla
u\right\vert ^{p}\ dx}{\dint\limits_{\Omega }\left\vert u\right\vert ^{p}\ dx%
}
\end{equation*}

\begin{proposition}
\lbrack 20](\textbf{Monotonie de la premire valeur propre)}

Nous considrons deux ensembles ouverts dfinis tels que $\Omega _{1}\subset
\Omega _{2}.$ Cette inclusion induit une injection naturel $H_{0}^{1}(\Omega
_{1})\hookrightarrow H_{0}^{1}(\Omega _{2})$ simplement en tendant par zro
fonctions dans $H_{0}^{1}(\Omega ).$

En particulier, le principe de maximum implique la monotonie suivante pour
l'inclusion de la premire valeur propre avec les conditions limies de
Dirichlet.%
\begin{equation*}
\Omega _{1}\subset \Omega _{2}\ \Longrightarrow \lambda _{1}(1,\Omega
_{1})\geq \lambda _{1}(1,\Omega _{2})
\end{equation*}

De plus, l'ingalit est stricte ds que $\Omega _{2}\backslash \Omega _{1}$
contient un ensemble de capacit positive (puisque la premire fonction
propre ne peut pas disparitre sur un tel ensemble).
\end{proposition}

\begin{corollary}
\lbrack 16]

Si $\lambda _{1}(p,\Omega )>\gamma >0$, il existe certains $\overline{\Omega 
}\subset \widetilde{\Omega }$ tel que 
\begin{equation*}
\lambda _{1}(p,\Omega )>\lambda _{1}(p,\widetilde{\Omega })>\gamma
\end{equation*}
\end{corollary}

\begin{theorem}
\lbrack 20](\textbf{Continuit de la premire valeur propre)}

Soient $T_{1}$ et $T_{2}$ deux oprateurs auto-adjoints, compacts et
positifs sur un espace de Hilbert sparable $H.$

Soient $\lambda _{1}(T_{1})$ et $\lambda _{1}(T_{2})$ tre leur premire
valeur propre respective, alors%
\begin{equation*}
\left\vert \lambda _{1}(T_{1})-\lambda _{1}(T_{2})\right\vert \leq
\left\Vert T_{1}-T_{2}\right\Vert =\sup_{u\in H}\dfrac{\left\Vert \left(
T_{1}-T_{2}\right) \left( u\right) \right\Vert }{\left\Vert u\right\Vert }
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proposition}
\lbrack 16]

$\lambda _{1}(P,\Omega )$ dpend continuellement des perterbations $\Omega $
pour $C^{1}.$
\end{proposition}

\begin{proof}
Soit $\widetilde{\Omega }=\tau (\Omega ),$ o $\tau =I+\psi $ est une petite
perturbation de l'identit et $\psi \in C^{1}(\widetilde{\Omega }).$Pour
toute $y=\left( I+\psi \right) (x),\ x\in \Omega $ on pose $\widetilde{u}%
(y)=u(x),\ $on obtient:%
\begin{equation*}
A(u)=\dint\limits_{\widetilde{\Omega }}\left( \tsum\limits_{i=1}^{i=n}\left( 
\dfrac{\partial u}{\partial x_{i}}\right) ^{2}\right) ^{\frac{p}{2}}J^{-1}\
dy
\end{equation*}%
\begin{equation*}
B(u)=\dint\limits_{\Omega }\left\vert u\right\vert ^{p}dx=\dint\limits_{%
\widetilde{\Omega }}\left\vert \widetilde{u}\right\vert ^{p}J^{-1}\ dy,\text{
avec }J=\left\vert \det \left( \delta _{ij}+\dfrac{\partial \psi }{\partial
y_{i}}\right) \right\vert
\end{equation*}

Si $\left\Vert \psi \right\Vert _{1,\infty }\longrightarrow 0,$ on obtient%
\begin{equation*}
A(\widetilde{u})=\dint\limits_{\widetilde{\Omega }}\left(
\tsum\limits_{i=1}^{i=n}\left( \dfrac{\partial \widetilde{u}}{\partial y_{i}}%
\right) ^{2}\right) ^{\frac{p}{2}}\ dy\longrightarrow A(u),\ B(\widetilde{u}%
)=\dint\limits_{\widetilde{\Omega }}\left\vert \widetilde{u}\right\vert
^{p}\ dy\longrightarrow B(u)
\end{equation*}

Par consquent,%
\begin{equation*}
\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })=\inf \left\{ \frac{A(\widetilde{u})}{\ B(%
\widetilde{u})}:\ \widetilde{u}\in W_{0}^{1}(\widetilde{\Omega })\right\}
\longrightarrow \lambda _{1}(P,\Omega )=\inf \left\{ \frac{A(u)}{\ B(u)}:\
u\in W_{0}^{1}(\Omega )\right\}
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{theorem}
\lbrack 11]\textbf{(Point fixe de Schauder)}

Soit $X$ un espace de Banach et soit $R$ un rel strictement positif.

Si $T:B(x_{0},r)\longrightarrow B(x_{0},r)$ est un oprateur compltement
continu (c'est--dire continu et tel que, pour toute partie borne $D$ de$\
X,\ \overline{T(D)}$ est compacte), alors $T$ admet au moins un point fixe.
\end{theorem}

\subsection{Rappels et dfinitions}

\ \ \ \ \ Soit $H$ un espace de Hilbert muni de la norme usuelle:%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert \ =(u,u)^{\frac{1}{2}}\ 
\end{equation*}

\ \ \ \ \ Soit $L$ une forme \textbf{linaire} dfinie sur $H$  valeur r%
elle dire que $L(.)$ est \textbf{continue} signifie qu'il existe $M>0$ tel
que:%
\begin{equation*}
M=\sup \left\{ \left\vert L(u)\right\vert ,\ u\in H,\ \left\Vert
u\right\Vert =1\right\} <+\infty
\end{equation*}

En particulier pour tout $u\in H$ on a:%
\begin{equation*}
\left\vert L(u)\right\vert \leq M\left\Vert u\right\Vert
\end{equation*}

\ \ \ \ \ De mme nous disons que la forme \textbf{bilinaire} $a(.,.)$ d%
finie sur $V\times V$ est \textbf{continue }s'il existe $M^{\prime }>0;\
\forall u,v\in V$ on a:%
\begin{equation*}
\left\vert a(u,v)\right\vert \leq M^{\prime }\left\Vert u\right\Vert
\left\Vert v\right\Vert
\end{equation*}

La forme $a$ est dite \textbf{coercive} ou \textbf{uniformment elliptique }%
sur $V$ s'il existe$\ \alpha >\ 0$ telle que%
\begin{equation*}
\forall u\in V;\ a(u,u)\geq \alpha \left\Vert u\right\Vert ^{2}
\end{equation*}

\begin{lemma}
\lbrack 5]\textbf{(Lax-Milgram)}

Soit $a(u,v)$ une forme bilinaire continue et coercive sur l'espace de
Hilbert $V$. Soit $L\in V^{\prime }\ (V^{\prime }$ est le dual de $V\ )$ est
une forme linaire continue sur $V.$

Le problme variationnelle:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
\ \text{Trouver }u\text{ dans }V\text{\ tel que:} \\ 
a(u,v)=L(v),\ \ \forall v\in V%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Admet une \textbf{solution unique }dans $V.$
\end{lemma}

\begin{definition}
\lbrack 33](\textbf{fonction mesurable)}

Soient $E$ et $F$ munis des tribus respectives $\Sigma \ $et $\tciFourier .$

Une fonction $f:E\longrightarrow F$ est dite mesurable par rapport  $\Sigma 
$ et $\tciFourier $ si pour tout $A\in \tciFourier $, $f^{\ -1}(A)\in \Sigma 
$.
\end{definition}

\begin{definition}
\lbrack 33]

Soit $f$ une fonction mesurable. On note $f\ ^{+}$ sa partie positive et $f\
^{-}$ sa partie ngative. Si $\tint\limits_{\Omega }\left\vert f\right\vert
d\mu <\infty ,$ c'est--dire si%
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert f^{\ +}\right\vert d\mu <\infty \text{ \ \
et \ }\tint\limits_{\Omega }\left\vert f^{\ -}\right\vert d\mu <\infty
\end{equation*}

Alors $f$ est dite intgrable et on pose 
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert f\right\vert d\mu =\tint\limits_{\Omega
}\left\vert f^{\ +}\right\vert d\mu -\tint\limits_{\Omega }\left\vert f^{\
-}\right\vert d\mu
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{definition}
\lbrack 27](\textbf{fonction lipshitzienne)}

Une fonction$\ f:U\subset 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\longrightarrow $ \ $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ est\textbf{\ }une fonction\textbf{\ }lipshitzienne de rapport $k$ sur $%
U$ si 
\begin{equation*}
\left\vert f(x_{1})-f(x_{2})\right\vert \leq k\left\vert
x_{1}-x_{2}\right\vert \text{ \ \ pour tout }x_{1}\in U\text{ et tout }%
x_{2}\in U
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{definition}
\lbrack 27](\textbf{fonction localement lipshitzienne)}

Une fonction$\ f:U\subset 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\longrightarrow $ \ $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ est\textbf{\ }une fonction\textbf{\ }localemnt\textbf{\ }lipshitzienne
sur $U$ si, pour tout $x_{0}\in U$, il existe un voisinage $V_{x_{0}}$ de $%
x_{0}$ tel que $f\left\vert _{V_{x_{0}}}\right. $ soit lipshitzienne sur $%
V_{x_{0}}.$
\end{definition}

\begin{definition}
\lbrack 25]\textbf{(condition de Carathodory)}

Soit $\Omega \times 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\longrightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ satisfaisant la condition suivante:

$1)\ f(x,t)$ est mesurable par rapport  $x\in \Omega $ \ pour tout $t\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
.$

$2)\ \ f(x,t)$ est continue par rapport  $t\in \Omega $ \ pour tout$\ x\in
\Omega $ .

$f(x,t)$ est appele \textbf{fonction de Carathodory.}
\end{definition}

\subsection{Quelques dfinitions sur les matrices}

\begin{definition}
\lbrack 6](\textbf{M-matrice)}

M-matrice est une matrice carre relle, qui signifie que tous ces mineurs
principaux sont strictement positifs et que ses lments extra-diagonaux
sont ngatifs.
\end{definition}

\ \ \ \ \ Cette matrice intervient dans l'tude des problmes de compl%
mentarit linaire et dans certaines discrtisation d'oprateurs diff%
rentiels, en particulier ceux obissant  un principe de maximum, comme le
Laplacien.

\begin{definition}
\lbrack 22]\textbf{(M-matrice non singulire)}

Soit $M=(m_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice dont les composantes $m_{ij}$
sont des rels. On dit que $M$ est une M-matrice non singulire si $M$ est
de la forme $M=\lambda I-B$ o $\lambda \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
_{+}^{\ast },$ $B$ est une matrice positive telle que $\lambda >\rho (B)$ o 
$\rho (B)$ est le rayon spectral de $B$
\end{definition}

\begin{proposition}
\lbrack 6]

Si $M$ est une matrice avec des coefficients hors diagonal non positifs, les
conditions $(P_{0}),(P_{1}),(P_{2}),(P_{3})\ $et $(P_{4})$

sont quivalentes:

$(P_{0}):$ $M$ est une M-matrice non singulire

$(P_{1}):\ $tous les mineurs principaux de $M$ sont strictement positifs.

$(P_{2}):M\ $est$\ $semi-positive (i.e) $\exists X>>0,$ tel que $MX>>0,$ o $%
X>>0$ signifie pour tous $i,\ X_{i}>0$ si $X=(X_{1},X_{2},...,X_{n})$

$(P_{3}):M$ a un inverse positif.

$(P_{4}):\ $il existe une matrice diagonal $D,\ D>0$ telle que $MD+D^{t}M$
est dfinie positive
\end{proposition}

\begin{remark}
Si $M$ est une M-matrice non singulire, alors $M^{t}$ est aussi une
M-matrice non singulire. Alors condition $(P_{4})$ est satisfaite si est
seulement si $(P_{5})$ est satisfaite o

$(P_{5}):$ il existe une matrice diagonal $D,D>0$ telle que $M^{t}D+DM$ est d%
finie positive.
\end{remark}

\begin{definition}
\lbrack 24]\textbf{(Mineurs principaux d'une matrice)}

Soit $M=(m_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice carr symtrique de
dimension $(n,n)$. Un mineur principal d'ordre $k$ est le dterminant de la
sous-matrice de $M$ d'ordre $k$ obtenue en supprimant $(n-k)$ lignes et les $%
(n-k)$ colonnes correspondantes dans $M.$
\end{definition}

\begin{example}
Soit $M=\left( 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}%
\right) $

Les trois mineurs principaux d'ordre $1$ de $M$ sont: $a_{11},\ a_{22}$ et $%
\ a_{33}.$

Les trois mineurs principaux d'ordre $2$ de $M$ sont:\ $\left\vert 
\begin{array}{cc}
a_{22} & a_{23} \\ 
a_{32} & a_{33}%
\end{array}%
\right\vert ,\ \left\vert 
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{13} \\ 
a_{31} & a_{33}%
\end{array}%
\right\vert $ et $\left\vert 
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\ 
a_{21} & a_{22}%
\end{array}%
\right\vert .$

Le mineur principal d'ordre $3$ de $M$ est: $\left\vert 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}%
\right\vert .$
\end{example}

\begin{definition}
\lbrack 24]\textbf{(Mineurs principaux diagonaux d'une matrice)}

Soit $M=(m_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice carr symtrique de
dimension $(n,n)$. Le mineur principal diagonal d'ordre $k$ ( not $D_{k}$)
de la matrice $M$ est le dterminant de la taille $(k,k)$ obtenue en %
liminant $(n-k)$ dernires lignes et les $(n-k)$ dernires colonnes de la
matrice $M$. Une matrice carr d'ordre $n$ admet $n$ Mineurs principaux
diagonaux.
\end{definition}

\begin{remark}
Le mineur principal diagonal d'ordre $k$ d'une matrice est l'un de ses
mineurs principaux d'ordre $k.$
\end{remark}

\begin{example}
Soit $M=\left( 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}%
\right) $

Le mineur principal diagonal d'ordre $1$ de $M$ est: $a_{11}.$

Le mineur principal diagonal d'ordre $2$ de $M$ est:\ $\left\vert 
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\ 
a_{21} & a_{22}%
\end{array}%
\right\vert .$

Le mineur principal diagonal d'ordre $3$ de $M$ est: $\left\vert 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}%
\right\vert .$
\end{example}

\begin{definition}
\lbrack 24]\textbf{(Matrice dfinie positive)}

Une matrice $n\times n$ symtrique $A$ est dite "dfinit positive" si pour
tout vecteur $X,$ le produit $X^{t}AX>0.$
\end{definition}

\chapter{L'tude de systme elliptique intervenant le Laplacien}

\ \ \ \ \ Nous tudions ici quelques systmes elliptiques linaires
cooperatifs dfinis sur un domaine born $\Omega $ dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$, nous considrons le problme suivant%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta u_{i}=\dsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij\ }u_{j}+f_{i}\ \ \ \ \text{dans }%
\Omega \\ 
u_{i}=0\ \ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

O les coefficients $a_{ij}$ sont constants et $a_{ij}\geq 0$ pour $i\neq j$
(systmes cooperatifs)

\ \ \ \ \ Ici nous donnons une preuve alternative trs simple  la condition
ncessaire et suffisante pour l'existence et l'unucit des solutions
positives pour les systmes linaires coopratifs.

\section{Systme linaire coopratif de deux quations}

\ \ \ \ \ On dfini l'espace de Sobolev $H_{0}^{1}(\Omega )$ par%
\begin{equation*}
H_{0}^{1}(\Omega )=\left\{ u\in L^{2}(\Omega )\ \ \ \ \text{tq\ \ }\forall
i\in \left\{ 1,2,...,n\right\} ,\ \frac{\partial u}{\partial x_{i}}\in
L^{2}(\Omega ),\ u\left\vert _{\partial \Omega }\right. =0\right\}
\end{equation*}

Muni de la norme:%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{H_{0}^{1}(\Omega )}=\left( \tint\limits_{\Omega
}\left( \left\vert \nabla u(x)\right\vert ^{2}+\left\vert u(x)\right\vert
^{2}\right) \ dx\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}

Et elle est quivalente  cette norme:%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{m}=\left( \tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert
\nabla u(x)\right\vert ^{2}+m\left\vert u(x)\right\vert ^{2}\right) \
dx\right) ^{\frac{1}{2}},\ m>0
\end{equation*}

Et notons que $H_{0}^{1}(\Omega )=V.$

Nous dfinissons l'espace $V^{2}=V\times V$ par la norme:%
\begin{equation*}
\left\Vert U\right\Vert _{V^{2}}=(\left\Vert u\right\Vert
_{V}^{2}+\left\Vert v\right\Vert _{V}^{2})^{\frac{1}{2}},\ U=\left( 
\begin{array}{c}
u \\ 
v%
\end{array}%
\right) \in V^{2}
\end{equation*}

elle est quivalente  la norme:%
\begin{equation*}
\left\Vert U\right\Vert =(\left\Vert u\right\Vert +\left\Vert v\right\Vert
),\ U=\left( 
\begin{array}{c}
u \\ 
v%
\end{array}%
\right) \in V^{2}
\end{equation*}

\ \ \ \ \ Soit le problme:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u=au+bv+f(x),\ \text{\ dans }\Omega \\ 
-\Delta v=cu+dv+g(x),\ \text{dans }\Omega \\ 
u=v=0,\ \ \ \text{sur\ }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{L}$}
\end{equation}

Tel que:%
\begin{equation}
\Omega \text{ est un domaine born sur }%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}  \tag{2.1}
\end{equation}

\begin{equation}
f,g\in L^{2}(\Omega )  \tag{2.2}
\end{equation}

\ \ \ \ \ Nous considrons ici la formulation variationnelle de ce systme
c'est--dire des solutions faibles dans $H_{0}^{1}(\Omega ).$ Nous
soulignons que:%
\begin{equation}
\text{Les coefficients }a,b,c,d\ \text{sont des constantes relles} 
\tag{2.3}
\end{equation}%
\begin{equation}
b>\ 0,c>\ 0  \tag{2.4}
\end{equation}%
\newline

Sous l'hypothse $(2.4),\ $le systme $(S_{L})$ s'appelle \textbf{coopratif.%
}

\subsection{Le principe de maximum}

\ \ \ \ \ Nous prouvons ici, par une mthode diffrente, un rsultat qui a t%
 prouv dans \textit{[12]} et qui est une condition ncessaire et
suffisante pour le principe de maximum.

\ \ \ \ \ \ Soit $\lambda _{1}$ la premire valeur propre de $-\Delta $
positive et principale dans $\Omega $ et $\varphi _{1}$ la fonction propre
positive associ  $\lambda _{1}$ normalise c'est--dire $\left\Vert
\varphi _{1}\right\Vert =1.$%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
\int\limits_{\Omega }-\Delta \varphi _{1}=\lambda _{1}\varphi _{1},\ \ \
\varphi _{1}>0\text{ dans }\Omega \\ 
\varphi _{1}=0\ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\begin{theorem}
Le principe de maximum est vrifi pour le systme $(S_{L})$ sous les
conditions $(2.1)-(2.4)$ si et seulement si:%
\begin{equation}
a<\lambda _{1}\ \text{et }d<\lambda _{1}\text{ }  \tag{2.5}
\end{equation}

et 
\begin{equation}
D=\left\vert 
\begin{array}{cc}
\lambda _{1}-a & -b \\ 
-c & \lambda _{1}-d%
\end{array}%
\right\vert =(\lambda _{1}-a)(\lambda _{1}-d)-bc>0  \tag{2.6}
\end{equation}

sont satisfaites.
\end{theorem}

\begin{proof}
Considrons$\ f,g>0$ et $u,v>0$

\ \ \ \ \ Miltipliant la premire quation du systme $(S_{L})$ par $\varphi
_{1}$ et intgrant sur $\Omega \ ,$ on obtient par l'utilisation de formule
de\textbf{\ Green}%
\begin{equation*}
\dint\limits_{\Omega }-\Delta u\varphi _{1}\ dx=\lambda
_{1}\dint\limits_{\Omega }u\varphi _{1}\ dx=a\dint\limits_{\Omega }u\varphi
_{1}\ dx+b\dint\limits_{\Omega }v\varphi _{1}\ dx+\dint\limits_{\Omega
}f(x)\varphi _{1}\ dx
\end{equation*}

donc%
\begin{equation*}
\dint\limits_{\Omega }\nabla u\nabla \varphi _{1}\ dx=\lambda
_{1}\dint\limits_{\Omega }u\varphi _{1}\ dx=a\dint\limits_{\Omega }u\varphi
_{1}\ dx+b\dint\limits_{\Omega }v\varphi _{1}\ dx+\dint\limits_{\Omega
}f(x)\varphi _{1}\ dx
\end{equation*}

alors:%
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-a)\dint\limits_{\Omega }u\varphi _{1}\
dx=b\dint\limits_{\Omega }v\varphi _{1}\ dx+\dint\limits_{\Omega
}f(x)\varphi _{1}\ dx
\end{equation*}

Alors 
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-a)\dint\limits_{\Omega }u\varphi _{1}\
dx-b\dint\limits_{\Omega }v\varphi _{1}\ dx=\dint\limits_{\Omega
}f(x)\varphi _{1}\ dx
\end{equation*}

Le deuxime membre de cette quation est positive cela implique que: $%
\lambda _{1}>a.$

\ \ \ \ \ \ \ De mme faon pour la deuxime quation de $(S_{L}),$ on
trouve: 
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-d)\dint\limits_{\Omega }v\varphi _{1}\
dx=c\dint\limits_{\Omega }u\varphi _{1}\ dx+\dint\limits_{\Omega
}g(x)\varphi _{1}\ dx
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-d)\dint\limits_{\Omega }v\varphi _{1}\
dx-c\dint\limits_{\Omega }u\varphi _{1}\ dx=\dint\limits_{\Omega
}g(x)\varphi _{1}\ dx
\end{equation*}

Le deuxime membre de cette quation est positive cela implique que: $%
\lambda _{1}>d.$

Par la\textbf{\ }formule de\textbf{\ Cramer }on obtient $(2.6).$

\ \ \ \ \ \textbf{Inversement:}

On suppose que $f,g>0$ et $(2.5)\ $et $(2.6)$ sont satisfaites:

\ \ \ \ \ Multipliant la premire quation de systme $(S_{L})$ par $%
u^{-}=\max (0,-u)$ et la deuxime quation$\ $par $v^{-}=\max (0,-v)\ $%
telles que: $u^{-},v^{-}\in H_{0}^{1}(\Omega )$ et intgrant sur $\Omega $,
on obtient:%
\begin{equation*}
\dint\limits_{\Omega }-\Delta uu^{-}\ dx=a\dint\limits_{\Omega }uu^{-}\
dx+b\dint\limits_{\Omega }vu^{-}\ dx+\dint\limits_{\Omega }f(x)u^{-}\ dx
\end{equation*}

par la formule de \textbf{Green, }on obtient:%
\begin{eqnarray*}
\dint\limits_{\Omega }\nabla u\nabla u^{-}\ dx &=&-\dint\limits_{\Omega
}\left\vert \nabla u^{-}\right\vert ^{2}\ dx=a\dint\limits_{\Omega }uu^{-}\
dx+b\dint\limits_{\Omega }vu^{-}\ dx+\dint\limits_{\Omega }f(x)u^{-}\ dx \\
&=&-a\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}\
dx+b\dint\limits_{\Omega }vu^{-}\ dx+\dint\limits_{\Omega }f(x)u^{-}\ dx
\end{eqnarray*}

alors 
\begin{eqnarray*}
\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u^{-}\right\vert ^{2}\ dx
&=&a\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}\
dx-b\dint\limits_{\Omega }vu^{-}\ dx-\dint\limits_{\Omega }f(x)u^{-}\ dx \\
&=&a\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}\
dx-b\dint\limits_{\Omega }(v^{+}-v^{-})u^{-}\ dx-\dint\limits_{\Omega
}f(x)u^{-}\ dx \\
&\leq &a\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}\
dx+b\dint\limits_{\Omega }v^{-}u^{-}\ dx
\end{eqnarray*}

et par la caractrisation de $\lambda _{1}$ , on trouve:%
\begin{equation*}
\lambda _{1}\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}dx\leq
\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u^{-}\right\vert ^{2}dx\leq
a\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert
^{2}dx+b\dint\limits_{\Omega }v^{-}u^{-}dx
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-a)\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}\
dx\leq b\dint\limits_{\Omega }v^{-}u^{-}dx
\end{equation*}

Par l'ingalit de Cauchy-Schwarz on a:%
\begin{equation*}
0<(\lambda _{1}-a)\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}\
dx\leq b\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert v^{-}\right\vert ^{2}\
dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
u^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}

\ \ \ \ \ De mme faon pour la deuxime quation:%
\begin{equation*}
0<(\lambda _{1}-d)\dint\limits_{\Omega }\left\vert v^{-}\right\vert ^{2}\
dx\leq c\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert v^{-}\right\vert ^{2}\
dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
u^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}

par multipliant membre  membre on obtient:%
\begin{equation*}
0<(\lambda _{1}-a)(\lambda _{1}-d)\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
u^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) \left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
v^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) \leq bc\left( \dint\limits_{\Omega
}\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) \left( \dint\limits_{\Omega
}\left\vert v^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right)
\end{equation*}

donc:%
\begin{equation*}
0<(\lambda _{1}-a)(\lambda _{1}-d)\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
u^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) \left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
v^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) -bc\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
u^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) \left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
v^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) \leq 0
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
\left( (\lambda _{1}-a)(\lambda _{1}-d)-bc\right) \left(
\dint\limits_{\Omega }\left\vert u^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) \left(
\dint\limits_{\Omega }\left\vert v^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) \leq 0
\end{equation*}

ce implique que 
\begin{equation*}
u^{-}=v^{-}=0,\text{ d'o }u,v\geq 0\text{ sur }\Omega
\end{equation*}
\end{proof}

\subsection{L' unicit de solution positive}

\ \ \ \ \ Nous prouvons ensuite que $(2.5),(2.6)$ sont galement conditions n%
cessaire et suffisantes pour l'existence et l'unicit d'une solution de $%
(S_{L})$

\begin{theorem}
Le systme $(S_{L})$ sous les hypothses $(2.1)-(2.4)$ admet une seul
solution positive pour $f,g\geq 0$, si et seulement si $(2.4)$ et $(2.5)$
sont satisfaites.
\end{theorem}

\begin{proof}
Si le systme $(S_{L})$ admet une solution positive, d'aprs thorme prc%
dent les conditions $(2.5)$ et $(2.6)$ sont satisfaites.

\ \ \ \ \ \textbf{Inversement:}

Si $(2.5)$ et $(2.6)$ sont satisfaites, on utilise le lemme de \textbf{%
Lax-Milgram} pour prouver l'existence et l'unicit de la solution du systme 
$(S_{L})$

Tout d'abord on peut recrire le systme $(S_{L})$ comme:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-b^{-1}\Delta u=b^{-1}au+v+-b^{-1}f(x),\ \ \ \text{dans\ }\Omega \\ 
-c^{-1}\Delta v=u+c^{-1}dv+c^{-1}g(x),\ \ \ \ \ \text{dans }\Omega \\ 
u=v=0\ \ \ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\ \ \right.
\end{equation*}

Nous dfinissons la forme $L:(H_{0}^{1}(\Omega ))^{2}\times
(H_{0}^{1}(\Omega ))^{2}\longrightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ par:%
\begin{equation*}
L((u,v),(w,z))=\dfrac{1}{b}\dint\limits_{\Omega }\nabla u\nabla w\ dx-\dfrac{%
a}{b}\dint\limits_{\Omega }uw\ dx-\dint\limits_{\Omega }vw\ dx+\dfrac{1}{c}%
\dint\limits_{\Omega }\nabla v\nabla z\ dx-\dint\limits_{\Omega }uz\ dx-%
\dfrac{d}{c}\dint\limits_{\Omega }vz\ dx
\end{equation*}

Et la forme $F:H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )\longrightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ par:%
\begin{equation*}
F(w,z)=\dfrac{1}{b}\dint\limits_{\Omega }f(x)w\ dx+\dfrac{1}{c}%
\dint\limits_{\Omega }g(x)z\ dx
\end{equation*}

Il est clair que $L$ est une forme bilinaire symtrique et $F$ est une
forme linaire. On va montrer que $L$ est continue et coercive et $F$ est
continue.

\ \ \ \ \ \textbf{La continuit de }$L:$%
\begin{eqnarray*}
\left\vert L((u,v),(w,z))\right\vert &=&\left\vert \dfrac{1}{b}%
\dint\limits_{\Omega }\nabla u\nabla w\ dx-\dfrac{a}{b}\dint\limits_{\Omega
}uw\ dx-\dint\limits_{\Omega }vw\ dx+\dfrac{1}{c}\dint\limits_{\Omega
}\nabla v\nabla z\ dx-\dint\limits_{\Omega }uz\ dx-\dfrac{d}{c}%
\dint\limits_{\Omega }vz\ dx\right\vert \\
&\leq &\dfrac{1}{b}\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u\right\vert
\left\vert \nabla w\right\vert \ dx+\dfrac{a}{b}\dint\limits_{\Omega
}\left\vert u\right\vert \left\vert w\right\vert \ dx+\dint\limits_{\Omega
}\left\vert v\right\vert \left\vert w\right\vert \ dx+\dfrac{1}{c}%
\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla v\right\vert \left\vert \nabla
z\right\vert \ dx \\
&&+\dint\limits_{\Omega }\left\vert u\right\vert \left\vert z\right\vert \
dx\ \ +\dfrac{d}{c}\dint\limits_{\Omega }\left\vert v\right\vert \left\vert
z\right\vert \ dx
\end{eqnarray*}

Et par l'ingalit de Cauchy-Schwarz:%
\begin{eqnarray*}
\left\vert L((u,v),(w,z))\right\vert &\leq &\dfrac{1}{b}\left(
\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u\right\vert \ dx\right) ^{\frac{1}{2%
}}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla w\right\vert \ dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}+\dfrac{a}{b}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
u\right\vert \ dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega
}\left\vert w\right\vert \ dx\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&&\ +\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert v\right\vert \ dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert w\right\vert \ dx\right)
^{\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{c}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla
v\right\vert \ dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega
}\left\vert \nabla z\right\vert \ dx\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&&+\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert u\right\vert \ dx\right) ^{\frac{1%
}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert z\right\vert \ dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}+\dfrac{d}{c}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
v\right\vert \ dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega
}\left\vert z\right\vert \ dx\right) \\
\ \ \ \ &=&\dfrac{1}{b}\left\Vert \nabla u\right\Vert _{L^{2}}\left\Vert
\nabla w\right\Vert _{L^{2}}+\dfrac{a}{b}\left\Vert u\right\Vert
_{L^{2}}\left\Vert w\right\Vert _{L^{2}}+\left\Vert v\right\Vert
_{L^{2}}\left\Vert w\right\Vert _{L^{2}} \\
&&+\dfrac{1}{c}\left\Vert \nabla v\right\Vert _{L^{2}}\left\Vert \nabla
z\right\Vert _{L^{2}}+\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}\left\Vert
z\right\Vert _{L^{2}}+\dfrac{d}{c}\left\Vert v\right\Vert _{L^{2}}\left\Vert
z\right\Vert _{L^{2}} \\
\ \ \ &\leq &\left( \dfrac{1+a}{b}\right) \ \left( \left\Vert u\right\Vert
_{H_{0}^{1}}+\left\Vert w\right\Vert _{H_{0}^{1}}\right) +\left( \dfrac{1+d}{%
c}\right) \ \left( \left\Vert v\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left\Vert
z\right\Vert _{H_{0}^{1}}\right) \\
&&+\left( \left\Vert v\right\Vert _{H_{0}^{1}}.\left\Vert w\right\Vert
_{H_{0}^{1}}\right) +\left( \left\Vert u\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left\Vert
z\right\Vert _{H_{0}^{1}}\right) \\
\ &\leq &\left\Vert w\right\Vert _{H_{0}^{1}}\ \ \left( \dfrac{1+a}{b}%
\left\Vert u\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left\Vert v\right\Vert
_{H_{0}^{1}}\right) +\left\Vert z\right\Vert _{H_{0}^{1}}\left( \dfrac{1+d}{c%
}\left\Vert v\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left\Vert u\right\Vert
_{H_{0}^{1}}\right) \\
\ \ &\leq &\max \left( \dfrac{1+a}{b},\dfrac{1+d}{c},1\right) \left[ \left(
\left\Vert u\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left\Vert v\right\Vert
_{H_{0}^{1}}\right) \left\Vert w\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left( \left\Vert
v\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left\Vert u\right\Vert _{H_{0}^{1}}\right)
\left\Vert z\right\Vert _{H_{0}^{1}}\right]
\end{eqnarray*}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

Donc: 
\begin{equation*}
\left\vert L((u,v),(w,z))\right\vert \leq C\left( \left\Vert u\right\Vert
_{H_{0}^{1}}+\left\Vert v\right\Vert _{H_{0}^{1}}\right) \left( \left\Vert
w\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left\Vert z\right\Vert _{H_{0}^{1}}\right)
\end{equation*}

D'o la continuit de $L.$

\ \ \ \ \ \textbf{La coercivit de }$L$:

Tout d'abord nous choisissons $m\geq 0$ telle que $a+m>0$ et $d+m>0\ $et re%
crivons le systme $(S_{L})$ sous la forme:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-b^{-1}\Delta u=b^{-1}au+b^{-1}mu-b^{-1}mu+v+b^{-1}f(x),\ \ \ \text{dans\ }%
\Omega \\ 
-c^{-1}\Delta v=u+c^{-1}mv-c^{-1}mv+c^{-1}dv+c^{-1}g(x),\ \ \text{dans }%
\Omega \\ 
u=v=0\ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Alors%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-b^{-1}(\Delta u-mu)=b^{-1}(a+m)u+v+b^{-1}f(x),\ \ \ \text{dans\ }\Omega \\ 
-c^{-1}(\Delta v-mv)=c^{-1}(d+m)v+u+c^{-1}g(x),\ \ \ \text{dans }\Omega \\ 
u=v=0\ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Donc%
\begin{eqnarray*}
L((u,v),(u,v)) &=&-\dfrac{1}{b}\dint\limits_{\Omega }(\Delta u)u\ dx+\dfrac{m%
}{b}\dint\limits_{\Omega }u^{2}\ dx-\dfrac{1}{b}(a+m)\dint\limits_{\Omega
}u^{2}\ dx-\dint\limits_{\Omega }vu\ dx \\
&&-\dfrac{1}{c}\dint\limits_{\Omega }(\Delta v)v\ dx\ \ +\dfrac{m}{c}%
\dint\limits_{\Omega }v^{2}\ dx-\dfrac{1}{c}(d+m)\dint\limits_{\Omega
}v^{2}\ dx-\dint\limits_{\Omega }uv\ dx\ 
\end{eqnarray*}

Donc:\ \ 
\begin{eqnarray*}
L((u,v),(u,v)) &=&\dfrac{1}{b}\dint\limits_{\Omega }(\nabla u)^{2}\ dx+%
\dfrac{m}{b}\dint\limits_{\Omega }u^{2}\ dx-\dfrac{1}{b}(a+m)\dint\limits_{%
\Omega }u^{2}\ dx-\dint\limits_{\Omega }vu\ dx \\
&&-\dfrac{1}{c}\dint\limits_{\Omega }(\nabla v)^{2}\ dx\ \ +\dfrac{m}{c}%
\dint\limits_{\Omega }v^{2}\ dx-\dfrac{1}{c}(d+m)\dint\limits_{\Omega
}v^{2}\ dx-\dint\limits_{\Omega }uv\ dx\ 
\end{eqnarray*}

Alors%
\begin{eqnarray*}
L((u,v),(u,v)) &=&\dfrac{1}{b}\left\Vert \nabla u\right\Vert _{L^{2}}^{2}+%
\dfrac{m}{b}\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2}-\dfrac{1}{b}(a+m)\left\Vert
u\right\Vert _{L^{2}}^{2}-2\dint\limits_{\Omega }vu\ dx \\
&&+\dfrac{1}{c}\left\Vert \nabla v\right\Vert _{L^{2}}^{2}+\dfrac{m}{c}%
\left\Vert v\right\Vert _{L^{2}}^{2}-\dfrac{1}{c}(d+m)\left\Vert
v\right\Vert _{L^{2}}^{2}
\end{eqnarray*}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ \ \ \ \ $\ \ \ \ 
\begin{eqnarray*}
\ \ L((u,v),(u,v)) &\leq &\dfrac{1}{b}\left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}+%
\dfrac{1}{c}\left\Vert v\right\Vert _{m}^{2}-\dfrac{1}{b}(a+m)\left\Vert
u\right\Vert _{L^{2}}^{2} \\
&&-\dfrac{1}{c}(d+m)\left\Vert v\right\Vert _{L^{2}}^{2}-2\left(
\dint\limits_{\Omega }u^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left(
\dint\limits_{\Omega }v^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}

Tel que:%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}=\left\Vert \nabla u\right\Vert
_{L^{2}}^{2}+m\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2}\ 
\end{equation*}%
Et par la caractrisation de $\lambda _{1},$on a 
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}\geq \lambda _{1}\left\Vert u\right\Vert
_{L^{2}}^{2}+m\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2}=(\lambda
_{1}+m)\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2}\ 
\end{equation*}

alors%
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2}\leq \dfrac{1}{\lambda _{1}+m}\left\Vert
u\right\Vert _{m}^{2}
\end{equation*}

donc:%
\begin{eqnarray*}
\ L((u,v),(u,v)) &\geq &\dfrac{1}{b}\left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}+\dfrac{1%
}{c}\left\Vert v\right\Vert _{m}^{2}-\dfrac{1}{b}\dfrac{(a+m)}{\lambda _{1}+m%
}\left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}-\dfrac{1}{c}\dfrac{(d+m)}{\lambda _{1}+m}%
\left\Vert v\right\Vert _{m}^{2}-2\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}\left\Vert
v\right\Vert _{L^{2}} \\
\ &\geq &\dfrac{1}{b}\left( 1-\dfrac{a+m}{\lambda _{1}+m}\right) \left\Vert
u\right\Vert _{m}^{2}+\dfrac{1}{c}\left( 1-\dfrac{d+m}{\lambda _{1}+m}%
\right) \left\Vert v\right\Vert _{m}^{2}-\dfrac{1}{\lambda _{1}+m}\left(
\left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}+\left\Vert v\right\Vert _{m}^{2}\right) \\
&\geq &\dfrac{1}{b}\left( \dfrac{\lambda _{1}+m}{\lambda _{1}+m}-\dfrac{a+m}{%
\lambda _{1}+m}\right) \left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}+\dfrac{1}{c}\left( 
\dfrac{\lambda _{1}+m}{\lambda _{1}+m}-\dfrac{d+m}{\lambda _{1}+m}\right)
\left\Vert v\right\Vert _{m}^{2} \\
&&-\dfrac{1}{\lambda _{1}+m}\left( \left\Vert u\right\Vert
_{m}^{2}+\left\Vert v\right\Vert _{m}^{2}\right) \\
&\geq &\dfrac{1}{\lambda _{1}+m}\left[ \dfrac{\lambda _{1}-a}{b}\left\Vert
u\right\Vert _{m}^{2}+\dfrac{\lambda _{1}-d}{c}\left\Vert v\right\Vert
_{m}^{2}-\left( \left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}+\left\Vert v\right\Vert
_{m}^{2}\right) \right] \\
&\geq &\dfrac{1}{\lambda _{1}+m}\left[ \left( \dfrac{\lambda _{1}-a}{b}%
-1\right) \left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}+\left( \dfrac{\lambda _{1}-d}{c}%
-1\right) \left\Vert v\right\Vert _{m}^{2}\right]
\end{eqnarray*}

D'aprs les conditions $(2.5)$, $(2.6)$ on obtient%
\begin{eqnarray*}
L((u,v),(u,v)) &\geq &\min \left( \dfrac{1}{\lambda _{1}+m}\right) \left[
\left( \dfrac{\lambda _{1}-a}{b}-1\right) ,\left( \dfrac{\lambda _{1}-d}{c}%
-1\right) \right] \left[ \left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}+\left\Vert
v\right\Vert _{m}^{2}\right] \\
&\geq &M\left( \left\Vert u\right\Vert _{m}^{2}+\left\Vert v\right\Vert
_{m}^{2}\right) =M\left\Vert U\right\Vert _{V^{2}}^{2}
\end{eqnarray*}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

D'o la coercivit de $L.$

\ \ \ \ \ \textbf{La continuit de }$F:$%
\begin{equation*}
\left\vert F(w,z)\right\vert =\left\vert \dfrac{1}{b}\dint\limits_{\Omega
}f(x)w\ dx+\dfrac{1}{c}\dint\limits_{\Omega }g(x)z\ dx\right\vert \leq 
\dfrac{1}{b}\dint\limits_{\Omega }\left\vert f(x)\right\vert \left\vert
w\right\vert \ dx+\dfrac{1}{c}\dint\limits_{\Omega }\left\vert
g(x)\right\vert \left\vert z\right\vert \ dx
\end{equation*}

Par l'ingalit de Cauchy-Schwarz:%
\begin{eqnarray*}
\left\vert F(w,z)\right\vert &\leq &\dfrac{1}{b}\left( \dint\limits_{\Omega
}\left\vert f(x)\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left(
\dint\limits_{\Omega }\left\vert w\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}+%
\dfrac{1}{c}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert g(x)\right\vert ^{2}\
dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert z\right\vert
^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&\leq &\dfrac{1}{b}\left\Vert f\right\Vert _{L^{2}}\left\Vert w\right\Vert
_{L^{2}}+\dfrac{1}{c}\left\Vert g\right\Vert _{L^{2}}\left\Vert z\right\Vert
_{L^{2}}\ \ \leq \ \dfrac{1}{b}\left\Vert f\right\Vert _{L^{2}}\left\Vert
w\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\dfrac{1}{b}\left\Vert g\right\Vert
_{L^{2}}\left\Vert z\right\Vert _{H_{0}^{1}} \\
&\leq &\max \left( \dfrac{1}{b}\left\Vert f\right\Vert _{L^{2}},\dfrac{1}{c}%
\left\Vert g\right\Vert _{L^{2}}\right) \left( \left\Vert w\right\Vert
_{H_{0}^{1}}+\left\Vert z\right\Vert _{H_{0}^{1}}\right) \\
&\leq &M\left( \left\Vert w\right\Vert _{H_{0}^{1}}+\left\Vert z\right\Vert
_{H_{0}^{1}}\right)
\end{eqnarray*}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

D'o la continuit de $F.$

Donc les conditions de lemme de \textbf{Lax-Milgram} sont vrifies, alors
le problme $(S_{L})$ admet une solution unique $U=(u,v)\ $n'importe que $%
f\geq 0,\ g\geq 0$ par le principe de maximum.
\end{proof}

\begin{remark}
L'oprateur diffrentiel $-\Delta $ peut tre remplac par un oprateur
elliptique de deuxime ordre tel que $\func{div}(a(x)\nabla u)$ avec $\ a$
borne , mesurable et $0<a(x)<a_{0};$ cependant, les oprateurs diff%
rentiels en $(S_{L})$ doivent tre identiques
\end{remark}

\begin{remark}
Systme $(S_{L})$ avec les hypothses $(2.1)-(2.4)$ a une solution $%
(u,\lambda u)$ avec $\lambda >0$ et $u>0$ pour $g=\lambda f$ si et seulement
si $(2.5)$ et $(2.6)$ sont satisfaites, dans ce cas%
\begin{equation*}
\lambda =\lambda ^{\ast }=\dfrac{d-a+((d-a)^{2}+4bc)^{\frac{1}{2}}}{2b}>0
\end{equation*}
\end{remark}

\section{Gnralisation  un systme de n quations}

\ \ \ \ \ Dans cette section, nous tudions le principe de maximum et
l'existence des solutions positives de systme:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta U=AU+F\ \ \ \ \text{dans }\Omega \\ 
U=0\ \ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{GL}$}
\end{equation}

O 
\begin{equation}
\Omega \ \ \text{est un ouvert born de }%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}  \tag{2.7}
\end{equation}
\ \ \ Nous soulignons que: 
\begin{equation}
A=(a_{ij})\ \text{est une matrice cooprative constante }n\times n  \tag{2.8}
\end{equation}

telle que:%
\begin{equation}
a_{ij}\geq 0\ \ \text{pour\ tout }i\neq j  \tag{2.9}
\end{equation}

\begin{equation*}
F\text{ dsigne une matrice colonne avec des lments }f_{i}\ 
\end{equation*}

O%
\begin{equation}
f_{i}\in L^{2}(\Omega )  \tag{2.10}
\end{equation}

On peut caractris la premire valeur propre principale simple $\lambda
_{1}\ $par:%
\begin{equation}
\lambda _{1}\dint\limits_{\Omega }\left\vert u\right\vert ^{2}\ dx\leq
\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u\right\vert ^{2}\ dx  \tag{2.11}
\end{equation}

\begin{definition}
On dit que le principe de maximum est vrifi pour le systme $(S_{GL})$ si $%
F\geq 0$ et $U$ est une solution de $(S_{GL})$, lorsque $U\geq 0$
\end{definition}

\ \ \ \ \ Le systme$\ (S_{GL})$ s'crit sous la forme:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta u_{i}=\dsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij\ }u_{j}+f_{i}\ \ \ \ \text{dans }%
\Omega \\ 
u_{i}=0\ \ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{GL}^{\prime }$}
\end{equation}

\subsection{Le principe de maximum pour le cas gnral}

\begin{theorem}
Le systme $(S_{GL}^{\prime })$ sous les hypothses $(2.7),(2.10)$ et $%
f_{i}\geq 0\ $satisfait le principe de maximum si 
\begin{equation}
\text{la matrice }(\Lambda _{1}-A)\ \text{est une M-matrice non-singulire }
\tag{2.12}
\end{equation}

O 
\begin{equation}
\Lambda _{1}=\left( 
\begin{array}{cccc}
\lambda _{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & \lambda _{1} & \cdots & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
0 & 0 & \cdots & \lambda _{1}%
\end{array}%
\right)  \tag{2.13}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Supposons tout d'abord \ que $f_{i}\geq 0\ $\ et $(u_{i})_{i=1}^{n}\in
\left( H_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}$ est la solution de $(S_{GL}^{\prime
}).$

\ \ \ \ \ Multipliant $(S_{GL}^{\prime })$ par $u_{i}^{-}=\max (0,-u_{i})$
et intgrant sur $\Omega .$ Nous obtenons par la formule de Green%
\begin{equation*}
\ \ \ \ \ \ \ \dint\limits_{\Omega }(-\Delta u_{i})u_{i}^{-}\
dx=\dsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}^{-}\
dx+\dint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-}\ dx
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
\dint\limits_{\Omega }\nabla u\nabla u_{i}^{-}\
dx=\dsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}^{-}\
dx+\dint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-}\ dx
\end{equation*}

donc%
\begin{equation*}
\dint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u_{i}^{-}\right\vert ^{2}\
dx=a_{ii}\dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{2}\
dx-\dsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}^{-}\
dx-\dint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-}\ dx
\end{equation*}

et ainsi, par $(2.11)$ on trouve$\ $%
\begin{equation*}
\ \lambda _{1}\dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{2}\
dx\leq a_{ii}\dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{2}\
dx-\dsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}^{-}\
dx-\dint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-}\ dx
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-a_{ii})\dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert
^{2}\ dx\leq -\dsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega
}(u_{j}^{+}-u_{j}^{-})u_{i}^{-}\ dx-\dint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-}\ dx
\end{equation*}

Donc%
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-a_{ii})\dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert
^{2}\ dx\leq \dsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega
}u_{j}^{-}u_{i}^{-}\ dx
\end{equation*}

Et par l'ingalit de Cauchy-Schwarz, on obtient$\ \ $%
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-a_{ii})\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}^{-}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}\ -\dsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij\ }\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}\right\vert ^{2}\
dx\right) ^{\frac{1}{2}}\leq 0
\end{equation*}

Qui peut tre recrit sous la forme 
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{cccc}
\lambda _{1}-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
-a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda _{1}-a_{nn}%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
(\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{1}^{-}\right\vert ^{2}\ dx)^{\frac{1}{2}%
} \\ 
(\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{2}^{-}\right\vert ^{2}\ dx)^{\frac{1}{2}%
} \\ 
\vdots \\ 
(\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{n}^{-}\right\vert ^{2}\ dx)^{\frac{1}{2}%
}%
\end{array}%
\right) \leq 0
\end{equation*}

Donc: $u_{1}^{-}=u_{2}^{-}=\cdots =u_{n}^{-}=0,$ alors $u_{1}$ $%
,u_{2},\cdots ,$ $u_{n}\geq 0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ $
\end{proof}

\subsection{L'exictence et l'unicit de solution positive}

\begin{theorem}
Soient $a_{ij}\geq 0,\ i\neq j.$ Le systme $(S_{GL}^{\prime })$ sous les
hypothses $(2.7),(2.10)$ et $f_{i}\geq 0\ $a une solution positive unique
si la condition $(2.12)$ est satisfaite.
\end{theorem}

\begin{proof}
On utilise le lemme de \textbf{Lax-Milgram }pour prouver l'existence et
l'unicit de solution du systme $(S_{GL}^{\prime }).$

Nous considrons la forme bilinaire $a:\left( H_{0}^{1}(\Omega )\right)
^{n}\times \left( H_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}\rightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ dfini par%
\begin{equation*}
a(U,V)=a((u_{1},u_{1},\ldots ,u_{n});(v_{1},v_{2},\ldots
,v_{n}))=\tsum\limits_{i=1}^{n}\dint\limits_{\Omega }\nabla u_{i}\nabla
v_{i}\ dx-\tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\dint\limits_{\Omega }u_{i}v_{i}\
dx-\dsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega }u_{j}v_{i}\ dx
\end{equation*}

\begin{equation*}
F(V)=\tsum\limits_{i=1}^{n}\dint\limits_{\Omega }f_{i}v_{i}\ dx
\end{equation*}

\ \ \ \ \ \textbf{La coercivit de a:}

on peut choisir $m\geq 0$ tel que $m+a_{ii}>0.$ Alors on obtient 
\begin{equation*}
\ \tint\limits_{\Omega }(-\Delta u_{i})u_{i}\ dx+m\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx=\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij\
}\tint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}\ dx+m\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}\right\vert ^{2}\ dx+\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}\ dx
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u_{i}\right\vert ^{2}\
dx+m\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx=a_{ii}\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx+\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\tint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}\
dx+m\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx+\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}\ dx
\end{equation*}

Donc%
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u_{i}\right\vert ^{2}\
dx+m\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx-a_{ii}\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\tint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}\
dx-m\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx=\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}\ dx
\end{equation*}

Alors$\ \ $ 
\begin{eqnarray*}
a(U,U) &=&\tsum\limits_{i=1}^{n}\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla
u_{i}\right\vert ^{2}\ dx+\tsum\limits_{i=1}^{n}m\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx-\tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}\right\vert ^{2}\ dx-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\
}\tint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}\ dx\
-\tsum\limits_{i=1}^{n}m\dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert
^{2}\ dx\  \\
&=&\tsum\limits_{i=1}^{n}\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla
u_{i}\right\vert ^{2}\ dx+\tsum\limits_{i=1}^{n}m\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx-\tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}\right\vert ^{2}\ dx-\tsum\limits_{i=1}^{n}m\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\
}\dint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}\ dx \\
&=&\tsum\limits_{i=1}^{n}\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla
u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right)
dx-\tsum\limits_{i=1}^{n}(m+a_{ii})\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}\right\vert ^{2}\ dx-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\
}\tint\limits_{\Omega }u_{j}u_{i}\ dx
\end{eqnarray*}

Par l'ingalit de Cauchy-Schwarz on obtient%
\begin{equation*}
a(U,U)\geq \tsum\limits_{i=1}^{n}\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert
\nabla u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right)
dx-\tsum\limits_{i=1}^{n}(m+a_{ii})\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}\right\vert ^{2}\ dx-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\left(
\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}\right\vert ^{2}\right) ^{\frac{1}{2}%
}\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) ^{%
\frac{1}{2}}\ dx
\end{equation*}

et par la caractrisation de $\lambda _{1},$ on trouve 
\begin{equation*}
\ \lambda _{1}\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx+m\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\leq
\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u_{i}\right\vert ^{2}\
dx+m\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\ 
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
\ (\lambda _{1}+m)\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\
dx\leq \tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla u_{i}\right\vert
^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) dx
\end{equation*}

Donc%
\begin{equation}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\leq \dfrac{1}{%
\lambda _{1}+m}\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla
u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) dx  \tag{2.14}
\end{equation}

Par consquent$\ $%
\begin{equation*}
-\tsum\limits_{i=1}^{n}(m+a_{ii})\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\geq -\tsum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\left(
m+a_{ii}\right) }{\left( \lambda _{1}+m\right) }\tint\limits_{\Omega }\left(
\left\vert \nabla u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert
^{2}\right) dx
\end{equation*}

Alors%
\begin{eqnarray*}
a(U,U) &\geq &\tsum\limits_{i=1}^{n}\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert
\nabla u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right)
dx-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}\right\vert ^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\ dx \\
&&-\tsum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\left( m+a_{ii}\right) }{\left( \lambda
_{1}+m\right) }\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla
u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) dx\  \\
&\geq &\tsum\limits_{i=1}^{n}\left( 1-\dfrac{m+a_{ii}}{\lambda _{1}+m}%
\right) \tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla u_{i}\right\vert
^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) dx\ \  \\
&&-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}\right\vert ^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\ dx
\end{eqnarray*}

On a:%
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\leq \dfrac{1}{%
\lambda _{1}+m}\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla
u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) dx
\end{equation*}

alors par $(2.14)$%
\begin{equation*}
\ \left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{\lambda _{1}+m}}\left( \tint\limits_{\Omega
}\left( \left\vert \nabla u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert
^{2}\right) dx\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}

et%
\begin{equation*}
\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{\lambda _{1}+m}}\left( \tint\limits_{\Omega
}\left( \left\vert \nabla u_{j}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{j}\right\vert
^{2}\right) dx\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}%
$\ $

Alors%
\begin{eqnarray*}
-\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}\right\vert ^{2}\
dx\right) ^{\frac{1}{2}} &\geq &\dfrac{1}{\lambda _{1}+m}\left(
\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla u_{i}\right\vert
^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) dx\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&&\times \left( \tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla
u_{j}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{j}\right\vert ^{2}\right) dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}

Alors%
\begin{eqnarray*}
a(U,U) &\geq &\tsum\limits_{i=1}^{n}\left( 1-\dfrac{m+a_{ii}}{\lambda _{1}+m}%
\right) \tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla u_{i}\right\vert
^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) dx \\
&&-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}\dfrac{a_{ij}}{\lambda _{1}+m}\left(
\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla u_{i}\right\vert
^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right) dx\right) ^{\frac{1}{2}}\  \\
&&\times \left( \tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert \nabla
u_{j}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{j}\right\vert ^{2}\right) dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}

Donc, en utilisant $(2.12)$, il s'ensuit que%
\begin{equation*}
a(U,U)\geq C\tsum\limits_{i=1}^{n}\tint\limits_{\Omega }\left( \left\vert
\nabla u_{i}\right\vert ^{2}+m\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\right)
dx=C\tsum\limits_{i=1}^{n}\left\Vert u_{i}\right\Vert _{m}^{2}
\end{equation*}

O $C>0$.

\ \ \ \ \ \textbf{La continuit de a:}%
\begin{equation*}
a(U,V)=\tsum\limits_{i=1}^{n}\dint\limits_{\Omega }\nabla u_{i}\nabla v_{i}\
dx-\tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\dint\limits_{\Omega
}u_{i}v_{i}dx-\dsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega
}u_{j}v_{i}\ dx\ 
\end{equation*}

alors%
\begin{equation*}
\ \left\vert a(U,V)\right\vert \leq
\tsum\limits_{i=1}^{n}\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla
u_{i}\right\vert \left\vert \nabla v_{i}\right\vert \
dx+\tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\dint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}\right\vert \left\vert v_{i}\right\vert \ dx+\dsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij\ }\dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}\right\vert \left\vert
v_{i}\right\vert \ dx
\end{equation*}

Par l'ingalit de Cauchy-Schwarz$\ \ \ $%
\begin{eqnarray*}
\left\vert a(U,V)\right\vert &\leq &\tsum\limits_{i=1}^{n}\left(
\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{%
\frac{1}{2}}\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla v_{i}\right\vert
^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}+\tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\left(
\dint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{%
2}}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert v_{i}\right\vert ^{2}\ dx\right)
^{\frac{1}{2}} \\
&&\ +\ \dsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij\ }\left( \dint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{j}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left(
\dint\limits_{\Omega }\left\vert v_{i}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{%
2}}\  \\
\ \ \ &\leq &\tsum\limits_{i=1}^{n}\left\Vert \nabla u_{i}\right\Vert
_{_{\left( L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}\left\Vert \nabla v_{i}\right\Vert
_{_{\left( L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}+\tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\
\left\Vert u_{i}\right\Vert _{_{\left( L^{2}(\Omega )\right)
^{n}}}\left\Vert v_{i}\right\Vert _{_{\left( L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}} \\
&&+\dsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\left\Vert u_{j}\right\Vert _{_{\left(
L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}\left\Vert v_{i}\right\Vert _{_{\left(
L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}\ \  \\
&=&\tsum\limits_{i=1}^{n}\left\Vert \nabla u_{i}\right\Vert _{_{\left(
L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}\left\Vert \nabla v_{i}\right\Vert _{_{\left(
L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}+\left( \tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\ \left\Vert
u_{i}\right\Vert _{_{\left( L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}+\dsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}\left\Vert u_{j}\right\Vert _{_{\left( L^{2}(\Omega )\right)
^{n}}}\right) \left\Vert v_{i}\right\Vert _{_{\left( L^{2}(\Omega )\right)
^{n}}} \\
&=&\tsum\limits_{i=1}^{n}\left\Vert \nabla u_{i}\right\Vert _{_{\left(
L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}\left\Vert \nabla v_{i}\right\Vert _{_{\left(
L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}+\tsum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}\ \left\Vert
u_{i}\right\Vert _{_{\left( L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}\left\Vert
v_{i}\right\Vert _{_{\left( L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}} \\
\ &\leq &\tsum\limits_{i=1}^{n}(1+a_{ii})\left\Vert u_{i}\right\Vert
_{\left( H_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}}\left\Vert v_{i}\right\Vert _{\left(
H_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}}\ \ \leq C\left\Vert U\right\Vert _{_{\left(
H_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}}}\left\Vert V\right\Vert _{_{\left(
H_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}}}\ \ \ \ 
\end{eqnarray*}%
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

\textbf{La continuit de F:}%
\begin{equation*}
\ F(V)=\tsum\limits_{i=1}^{n}\dint\limits_{\Omega }f_{i}v_{i}\ dx\ 
\end{equation*}

Alors%
\begin{eqnarray*}
\ \left\vert F(V)\right\vert &\leq
&\tsum\limits_{i=1}^{n}\dint\limits_{\Omega }\left\vert f_{i}\right\vert
\left\vert v_{i}\right\vert \ dx \\
\ \ &\leq &\tsum\limits_{i=1}^{n}\left( \dint\limits_{\Omega }\left\vert
f_{i}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \dint\limits_{\Omega
}\left\vert v_{i}\right\vert ^{2}\ dx\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&\leq &\tsum\limits_{i=1}^{n}\left\Vert f_{i}\right\Vert _{_{\left(
L^{2}(\Omega )\right) ^{n}}}\left\Vert v_{i}\right\Vert _{_{\left(
H_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}}} \\
&\leq &C\left\Vert V\right\Vert _{_{\left( H_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}}}
\end{eqnarray*}

D'o la continuit de $F$

Donc les conditions de lemme de \textbf{Lax-Milgram} sont vrifies, alors
le problme $(S_{GL}^{\prime })$ admet une solution unique non ngative par
le principe de maximum.
\end{proof}

\section{L'insertion d'un systme elliptique non coopratif dans un systme
coopratif}

\ \ \ \ \ Dans cette section, nous utiliserons les rsultats de deux
sections prcdentes pour obtenir le principes de maximum pour une classe de
systmes non coopratifs avec des coefficients constants.

\ \ \ \ \ Nous tudions ici un systme non coopratif de $n$ quations d%
finies sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ que nous insrons dans un systme coopratif de $(n+1)$ quations pour
obtenir le principe de maximum

\ \ \ \ \ Nous considrons le systme elliptique suivant:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{ pour }1\leq i\leq n, \\ 
-\Delta u_{i}=\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}+f_{i}\ \ \ \text{dans }\Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{NC}$}
\end{equation}

O

$(H_{1})\ $pour $1\leq i,j\leq n,\ a_{ij}$ sont des constantes

$(H_{2})\ $pour $1\leq i\leq n,\ f_{i}\in L^{2}(\Omega ).$

\subsection{ L'insertion d'un systme non coopratif de deux quations dans
un systme coopratif de trois quations}

\ \ \ \ \ Nous rdfinissons le systme $(S_{NC})$ pour $n=2.$%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}=a_{11}u_{1}+a_{12}u_{2}+f_{1}\ \text{\ \ \ dans }\Omega \\ 
-\Delta u_{2}=a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2}+f_{2}\ \ \ \ \text{dans }\Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S$}
\end{equation}

O $a_{11},a_{12},a_{21}$ et $a_{22}$ sont des constants rls

\ \ \ \ \ Commenant par le cas le plus simple lorsque $a_{12}\leq 0$ et $%
a_{21}\leq 0$ dans $\Omega .$

Bien que le systme non coopratif, il peut tre transform en un systme
coopratif pour les inconnus $u_{1}$ et $\left( -u_{2}\right) \ $c'est-%
-dire:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}=a_{11}u_{1}-a_{12}(-u_{2})+f_{1}\ \text{\ \ \ dans }\Omega \\ 
-\Delta (-u_{2})=-a_{21}u_{1}+a_{22}(-u_{2})-f_{2}\ \ \ \text{dans }\Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S^{\prime }$}
\end{equation}

\begin{theorem}
Soient $\left( -\Delta \right) $\ auto-adjoint et $\lambda _{1}$ la premire
valeur propre de $\left( -\Delta ,H_{0}^{1}(\Omega )\right) $. supposons %
galement que:

$1)\ a_{12}\leq 0$ et $a_{21}\leq 0$ dans $\Omega .$

$2)\ \max \left\{ \sup (a_{12}-a_{11})\right\} <\lambda _{1},\ \max \left\{
\sup (-a_{21}+a_{22})\right\} <\lambda _{1}.$

Alors si $f\geq 0$ et $g\leq 0$ dans $\Omega ,$ il s'ensuite que $u\geq 0,\
v\leq 0$ dans $\Omega $ tre $(u,v)$ la solution de $(S^{\prime }).$
\end{theorem}

\ \ \ \ \ Ensuite, nous considrons le cas difficile qui correspond  
\begin{equation}
a_{12}<0,\ a_{21}\geq 0  \tag{2.15}
\end{equation}

\ \ \ \ \ Notre objectif principal est de trouver des conditions sur les
coefficients du systme $(S)$ qui nous donneront un principe de maximum.

\ \ \ \ \ Lid \ maintenant est d'inserer le systme non coopratif \ $%
2\times 2$ dans un systme coopratif $3\times 3$

Ensuite, nous appliquons les rsultats dja tablis pour le systme coop%
ratif afin d'obtenir les informations \ sur le systme donn.

Nous introduisons un nouvel inconu $u_{3}=\xi _{1}u_{1}-\xi _{2}u_{2}\ $avec 
$\xi _{1}\neq 0,\ \xi _{2}\neq 0$ sont des nombres positifs.

Et on a 
\begin{equation*}
\xi _{2}=\frac{-a_{12}}{r},\ s=\frac{-a_{12}+a_{22}\xi _{2}}{\xi _{2}}
\end{equation*}

Alors 
\begin{eqnarray*}
-\Delta u_{3} &=&\xi _{1}(-\Delta u_{1})-\xi _{2}(-\Delta u_{2})=\xi
_{1}(a_{11}-r\xi _{1})u_{1}+\xi _{1}(a_{12}+r\xi _{2})u_{2} \\
&&+r\xi _{1}u_{3}+\xi _{1}f_{1}-\xi _{2}(a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2}+f_{2}) \\
&=&\xi _{1}a_{11}u_{1}-r\xi _{1}^{2}u_{1}+\xi _{1}a_{12}u_{2}-r\xi _{2}\xi
_{1}u_{2}+r\xi _{1}u_{3}+\xi _{1}f_{1} \\
&&-\xi _{2}a_{21}u_{1}-\xi _{2}a_{22}u_{2}-\xi _{2}f_{2} \\
&=&(a_{11}\xi _{1}-\xi _{2}a_{21})u_{1}+(a_{12}\xi _{1}-a_{22}\xi
_{2})u_{2}+\xi _{1}f_{1}-\xi _{2}f_{2}+r\xi _{1}(-\xi _{1}u_{1}-\xi
_{2}u_{2}+u_{3})
\end{eqnarray*}

tel que 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}=(a_{11}-r\xi _{1})u_{1}+(a_{12}+r\xi _{2})u_{2}+ru_{3}+f_{1}
\\ 
-\Delta u_{2}=a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2}+f_{2}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Alors 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}=(a_{11}-r\xi _{1})u_{1}+(a_{12}+r\xi _{2})u_{2}+r\xi
_{1}u_{3}+f_{1} \\ 
-\Delta u_{2}=a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2}+f_{2} \\ 
-\Delta u_{3}=(a_{11}\xi _{1}-\xi _{2}a_{21})u_{1}+(a_{12}\xi _{1}-a_{22}\xi
_{2})u_{2}+\xi _{1}f_{1}-\xi _{2}f_{2}+r\xi _{1}(-\xi _{1}u_{1}-\xi
_{2}u_{2}+u_{3})%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

et comme $-\xi _{1}u_{1}-\xi _{2}u_{2}+u_{3}=0$

Alors%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}=(a_{11}-r\xi _{1})u_{1}+(a_{12}+r\xi _{2})u_{2}+r\xi
_{1}u_{3}+f_{1} \\ 
-\Delta u_{2}=a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2}+f_{2} \\ 
-\Delta u_{3}=(a_{11}\xi _{1}-\xi _{2}a_{21}-s\xi _{1})u_{1}+(a_{12}\xi
_{1}-a_{22}\xi _{2}+s\xi _{2})u_{2}+su_{3}+(\xi _{1}f_{1}-\xi _{2}f_{2})%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Nous pouvons, sans perte de gnralit, prendre $\xi _{1}=1.$ Nous obtenons
donc le systme suivant:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}=(a_{11}-r)u_{1}+(a_{12}+r\xi _{2})u_{2}+ru_{3}+f_{1} \\ 
-\Delta u_{2}=a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2}+f_{2} \\ 
-\Delta u_{3}=b_{1}u_{1}+b_{2}u_{2}+su_{3}+f_{3}%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{1}$}
\end{equation}

O\ \ $f_{3}=f_{1}-\xi _{2}f_{2},\ b_{1}=a_{11}-\xi _{2}a_{21}-s,\
b_{2}=a_{12}-a_{22}\xi _{2}+s\xi _{2}$

Le systme $(S_{1})$ est coopratif si 
\begin{equation*}
r\geq 0,\ a_{12}+r\xi _{2}\geq 0
\end{equation*}%
\begin{equation*}
b_{1}\geq 0,\ b_{2}\geq 0
\end{equation*}

Mais d'autre part,le systme $(S_{1})$ satisfait le principe de maximum si
la matrice

\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{ccc}
\lambda _{1}-a_{11}+r & -a_{12}-r\xi _{2} & r \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22} & 0 \\ 
b_{1} & b_{2} & s%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
est une M-matrice non singulire, alors le systme $(S_{1})$ est coopratif
si 
\begin{equation}
r>0,\ a_{12}+r\xi _{2}=0  \tag{2.17}
\end{equation}%
\begin{equation}
b_{1}=0,\ b_{2}=0  \tag{2.18}
\end{equation}%
Alors%
\begin{equation*}
a_{11}-r<\lambda _{1}
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{cc}
\lambda _{1}-a_{11}+r & 0 \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22}%
\end{array}%
\right\vert >0
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
\lambda _{1}-a_{11}+r & 0 & -r \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22} & 0 \\ 
0 & 0 & \lambda _{1}-s%
\end{array}%
\right\vert >0
\end{equation*}

Donc 
\begin{equation*}
\lambda _{1}-a_{11}+r>0,\ \left( \lambda _{1}-a_{11}+r\right) \left( \lambda
_{1}-a_{22}\right) >0
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\ \left( \lambda _{1}-a_{11}+r\right) \left( \lambda _{1}-a_{22}\right)
\left( \lambda _{1}-s\right) >0
\end{equation*}

Ce implique que%
\begin{equation*}
\lambda _{1}-a_{11}+r>0,\ \lambda _{1}-a_{22}>0,\ \lambda _{1}-s>0
\end{equation*}

Il resulte de $(2.18)$ que 
\begin{equation*}
s=r+a_{22}
\end{equation*}

Et comme $\ \ \lambda _{1}>s,\ $alors%
\begin{equation*}
\ \lambda _{1}>r+a_{22}\text{ et }r>a_{11}-\lambda _{1}
\end{equation*}

\begin{theorem}
Supposons que $a_{12}<0,\ a_{21}\geq 0,\ a_{11}>a_{22},\ f_{1}-\xi
_{2}f_{2}\geq 0,\ $et $(\ a_{11}-a_{22})^{2}+4\ a_{12}a_{21}\geq 0$ sont
satisfaits.

Le systme $(S_{1})$ satisfait le principe de maximum pour $0\leq \xi
_{2}f_{2}\leq f_{1}$ si 
\begin{equation*}
a_{11}-\lambda _{1}<r\ <a_{11}-\lambda _{1}
\end{equation*}
\end{theorem}

\subsection{L'insertion d'un systme non coopratif de trois quations dans
un systme coopratif de quatre quations}

\ \ \ \ \ Maintenant, nous considrons le systme non coopratif $3\times 3$
suivant:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}=a_{11}u_{1}+a_{12}u_{2}+a_{13}u_{3}+f_{1}\text{\ \ \ dans }%
\Omega \\ 
-\Delta u_{2}=a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2}+a_{23}u_{3}+f_{2}\ \ \ \ \text{dans }%
\Omega \\ 
-\Delta u_{3}=a_{31}u_{1}+a_{32}u_{2}+a_{33}u_{3}+f_{3}\ \ \ \ \text{dans }%
\Omega \\ 
u_{1}=u_{2}=u_{3}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{2}$}
\end{equation}

Supposons que%
\begin{equation}
a_{12},\ a_{13}<0,\ \ a_{21},\ a_{23},\ a_{31},\ a_{32}\geq 0.  \tag{2.19}
\end{equation}

\ \ \ \ \ Nous insrons notre systme $3\times 3\ $non coopratif en $%
4\times 4\ $coopratif.

Nous prsentons la quatrime quation suivante d'une nouvelle variable 
\begin{equation*}
u_{4}=u_{1}-\xi _{2}u_{2}-\xi _{3}u_{3}
\end{equation*}

Tels que 
\begin{equation*}
\xi _{2}=\frac{-a_{12}}{r},\ \xi _{3}=\frac{-a_{13}}{r},\ 
\end{equation*}

Alors 
\begin{equation*}
-\Delta u_{4}=-\Delta u_{1}-\xi _{2}(-\Delta u_{2})-\xi _{3}(-\Delta u_{3})
\end{equation*}

Donc 
\begin{eqnarray*}
-\Delta u_{4} &=&(a_{11}-\xi _{2}a_{21}-\xi _{3}a_{31}-s)u_{1}+(a_{12}-\xi
_{2}a_{22}-\xi _{3}a_{32}+s\xi _{2})u_{2} \\
&&+(a_{13}-\xi _{2}a_{23}-\xi _{3}a_{33}+s\xi _{3})u_{3}+su_{4}+f_{4}
\end{eqnarray*}

O$\ f_{4}=f_{1}-\xi _{2}f_{2}-\xi _{3}f_{3},\ $Alors le systme $(S_{2})$
peut tre transform en systme de la forme 
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta U=NU+F\ \ \ \text{dans }\Omega \  \\ 
U=0\ \ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{2}^{\prime }$}
\end{equation}

O $U=(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}),\ F=(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4})$ et 
\begin{equation*}
N=\left( 
\begin{array}{cccc}
a_{11}-r & a_{12}+r\xi _{2} & a_{13}+r\xi _{3} & r \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\ 
b_{1} & b_{2} & b_{3} & s%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

avec%
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
b_{1}=a_{11}-\xi _{2}a_{21}-\xi _{3}a_{31}-s,\ b_{2}=a_{12}-\xi
_{2}a_{22}-\xi _{3}a_{32}+s\xi _{2},\ \  \\ 
b_{3}=a_{13}-\xi _{2}a_{23}-\xi _{3}a_{33}+s\xi _{3}%
\end{array}%
\end{equation*}

\ \ \ \ \ Le systme $(S_{2}^{\prime })$ est coopretif si

\begin{equation*}
r>0,\ a_{12}+r\xi _{2}=0,\ a_{13}+r\xi _{3}=0\ 
\end{equation*}%
\begin{equation*}
a_{11}-\xi _{2}a_{21}-\xi _{3}a_{31}-s=0
\end{equation*}%
\begin{equation}
a_{12}-\xi _{2}a_{22}-\xi _{3}a_{32}+s\xi _{2}=0  \tag{2.20}
\end{equation}%
\begin{equation}
a_{13}-\xi _{2}a_{23}-\xi _{3}a_{33}+s\xi _{3}=0  \tag{2.21}
\end{equation}

et puis, en utilisant $(2.19)$, on a $\xi _{3}=-\dfrac{a_{13}}{r}>0$ et $\xi
_{2}=-\dfrac{a_{12}}{r}>0.$

Maintenant, le systme $(S_{2}^{\prime })$ satisfait le principe de maximum
si la matrice 
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{cccc}
\lambda _{1}-a_{11}+r & -a_{12}-r\xi _{2} & -a_{13}-r\xi _{3} & -r \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22} & -a_{23} & 0 \\ 
-a_{31} & -a_{32} & \lambda _{1}-a_{33} & 0 \\ 
-b_{1} & -b_{2} & -b_{3} & \lambda _{1}-s%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

est une M-matrice non singulire, ce qui signifie que%
\begin{equation*}
\lambda _{1}-a_{11}+r>0
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{cc}
\lambda _{1}-a_{11}+r & 0 \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22}%
\end{array}%
\right\vert >0
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
\lambda _{1}-a_{11}+r & 0 & 0 \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22} & -a_{23} \\ 
-a_{31} & -a_{32} & \lambda _{1}-a_{33}%
\end{array}%
\right\vert >0
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{cccc}
\lambda _{1}-a_{11}+r & 0 & 0 & -r \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22} & -a_{23} & 0 \\ 
-a_{31} & -a_{32} & \lambda _{1}-a_{33} & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & \lambda _{1}-s%
\end{array}%
\right\vert >0
\end{equation*}

Donc%
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\lambda _{1}-a_{11}+r>0,\ (\lambda _{1}-a_{11}+r)(\lambda _{1}-a_{22})>0, \\ 
(\lambda _{1}-a_{11}+r)\left[ (\lambda _{1}-a_{22})(\lambda
_{1}-a_{33})-a_{23}a_{32}\right] >0%
\end{array}%
\end{equation*}

et%
\begin{equation*}
(\lambda _{1}-a_{11}+r)\left[ (\lambda _{1}-a_{22})(\lambda
_{1}-a_{33})(\lambda _{1}-s)-a_{23}a_{32}(\lambda _{1}-s)\right] >0
\end{equation*}

Ce qui implique que 
\begin{equation*}
\lambda _{1}-a_{11}+r>0,\ \lambda _{1}-a_{22}>0,\ (\lambda
_{1}-a_{22})(\lambda _{1}-a_{33})>a_{23}a_{32},(\lambda _{1}-s)\ >0
\end{equation*}

A partir de $(2.19)$, on obtient $(\lambda _{1}-a_{22})(\lambda
_{1}-a_{33})>0$ et ainsi 
\begin{equation*}
a_{11}-r<\lambda _{1},\ a_{22}<\lambda _{1},\ s<\lambda _{1}
\end{equation*}

Il rsulte de $(2.20)$ et $(2.21)$ que 
\begin{equation*}
\ a_{22}+r+\dfrac{\xi _{3}}{\xi _{2}}a_{32\ }=s
\end{equation*}

Et 
\begin{equation*}
a_{33}+r+\dfrac{\xi _{2}}{\xi _{3}}a_{23}=s
\end{equation*}

Comme $s<\lambda _{1},$\ on obtient%
\begin{equation*}
\lambda _{1}>\ a_{22}+r+\dfrac{\xi _{3}}{\xi _{2}}a_{32\ },\ \lambda
_{1}>a_{33}+r+\dfrac{\xi _{2}}{\xi _{3}}a_{23}
\end{equation*}

Qui compte tenu de $(2.19)$, garantit que 
\begin{equation*}
\lambda _{1}>\ a_{22}+r,\ \lambda _{1}>a_{33}+r
\end{equation*}

(i.e)%
\begin{equation*}
r<\lambda _{1}-\ a_{22},\ r<\lambda _{1}-\ a_{33}\text{ et }r>a_{11}-\lambda
_{1}
\end{equation*}

Par consquent, nous avons

\begin{theorem}
Le systme $(S_{2}^{\prime })$ satisfait le principe de maximum gnralis
sous la condition $(2.19)$, puis pour $0\leq \xi _{3}f_{3}\leq \xi
_{2}f_{2}\leq f_{1}$ si%
\begin{equation*}
a_{11}-\lambda _{1}<r<\lambda _{1}-\ a_{22},\ \ \ a_{11}-\lambda
_{1}<r<\lambda _{1}-\ a_{33}
\end{equation*}
\end{theorem}

\subsection{ L'insertion d'un systme non coopratif de $n$ quations dans
un systme coopratif de $\left( n+1\right) $ quations}

\ \ \ \ \ Pour systme non coopratif $(S_{NC})$, nous posons les conditions
suivantes%
\begin{eqnarray}
a_{1j} &<&0\text{ \ pour \ }j=2,3,...,n\text{ }  \TCItag{2.22} \\
a_{ij} &\geq &0\ \ \text{pour \ }i=2,3,...,n,\ j=1,2,3,...,n\ ,\ i\neq j 
\notag
\end{eqnarray}

\ \ \ \ \ De manire similaire  construire un systme coopratif $\left(
n+1\right) \times \left( n+1\right) ,$ nous prsentons l'quation suivante
d'une nouvelle variable%
\begin{equation*}
u_{n+1}=u_{1}-\tsum\limits_{i=2}^{n}\xi _{i}u_{i}
\end{equation*}%
O $\xi _{2},\xi _{3},...,\xi _{n}$ sont des nombres positifs et $\xi _{i}=-%
\dfrac{a_{1i}}{r}>0$

Alors%
\begin{eqnarray*}
-\Delta u_{n+1} &=&-\Delta u_{1}-\tsum\limits_{i=2}^{n}\xi _{i}(-\Delta
u_{i}) \\
&=&(a_{11}-r)u_{1}+(a_{12}+r\xi _{2})u_{2}+\cdots +(a_{1n}+r\xi
_{n})u_{n}+ru_{n}+f_{1} \\
&&-\xi _{2}(a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2}+\cdots +a_{2n}u_{n}+f_{2}) \\
&&-\cdots \cdots \\
&&-\xi _{n}(a_{n1}u_{1}+a_{n2}u_{2}+\cdots +a_{nn}u_{n}+f_{n}) \\
&=&(a_{11}-\xi _{2}a_{21}-\cdots -\xi _{n}a_{n1}-s)u_{1}+(a_{12}-\xi
_{2}a_{22}-\cdots -\xi _{n}a_{n2}+s\xi _{2})u_{2} \\
&&+\cdots \cdots \\
&&+(a_{1n}-\xi _{2}a_{2n}-\cdots -\xi _{n}a_{nn}+s\xi
_{n})u_{n}+su_{n+1}+(f_{1}-\xi _{2}f_{2}-\cdots -\xi _{n}f_{n})
\end{eqnarray*}

Alors%
\begin{equation*}
-\Delta u_{n+1}=b_{1}u_{1}+b_{2}u_{2}+\cdots b_{n}u_{n}+su_{n+1}+f_{n+1}
\end{equation*}

O%
\begin{eqnarray*}
b_{1} &=&a_{11}-\xi _{2}a_{21}-\cdots -\xi _{n}a_{n1}-s \\
b_{i} &=&a_{1i}-\tsum\limits_{j=2}^{n}\xi _{j}a_{ji}+s\xi _{i}
\end{eqnarray*}

et 
\begin{equation*}
f_{n+1}=f_{1}-\xi _{2}f_{2}-\cdots -\xi _{n}f_{n}
\end{equation*}

Alors le systme $(S)$ peut tre transform en systme de la forme%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta U=MU+F\ \ \ \text{dans }\Omega \  \\ 
U=0\ \ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{3}$}
\end{equation}

O%
\begin{equation*}
M=\left( 
\begin{array}{ccccc}
a_{11}-r & a_{12}+r\xi _{2} & \cdots & a_{1n}+r\xi _{n} & r \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & 0 \\ 
b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} & s%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

Le systme $(S_{3})$ est coopratif si%
\begin{equation}
a_{1i}+r\xi _{i}=0\text{ \ \ tel que \ }i=2,..,n  \tag{2.23}
\end{equation}%
\begin{equation}
b_{i}=0\ \ \text{tel que \ }i=1,..,n\text{ }  \tag{2.24}
\end{equation}

Le systme $(S_{3})$ satisfait le principe de maximum si la matrice $%
(\lambda _{1}I-M)$ est une M-matrice non singulire

O%
\begin{equation*}
(\lambda _{1}I-M)=\left( 
\begin{array}{ccccc}
\lambda _{1}-a_{11}+r & 0 & \cdots & 0 & -r \\ 
-a_{21} & \lambda _{1}-a_{22} & \cdots & -a_{2n} & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
-a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda _{1}-a_{nn} & 0 \\ 
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda _{1}-s%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

\begin{theorem}
Le systme $(S_{3})$ satisfait le principe de maximum sous la condition $%
(2.22)$, puis pour $0\leq \xi _{n}f_{n}\leq \cdots \leq \xi _{2}f_{2}\leq
f_{1}$ si%
\begin{equation*}
a_{11}-\lambda _{1}<r<\lambda _{1}-\ a_{ii},\ \ \ \text{pour tout }%
i=2,3,...,n
\end{equation*}
\end{theorem}

\section{Systme semi-linaires\ }

\ \ \ \ \ Dans cette chapitre, nous adaptons la mthode des sous et sur
solutions, pour prouver l'existence de solutions pour le systme coopratif
semi-linaire.

\subsection{Le principe de maximum pour les systmes semi-linaires et
l'existence d'une solution positive}

\ \ \ \ \ Considrons le systme:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u=au+bv+f(u,v),\ \text{\ dans }\Omega \\ 
-\Delta v=cu+dv+g(u,v),\ \text{dans }\Omega \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u=v=0,\ \text{sur\ }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{SL}$}
\end{equation}

tels que: $a,b,c,d$ sont des constantes et $b>0,\ c>0$ et $f,g$ sont des
fonctions \textbf{localement lipshitiziennes} telles qu'il existe $M>0$
satisfaisant:%
\begin{equation}
0\leq f(u,v)\leq M,\ 0\leq g(u,v)\leq M\text{ \ pour tout }u\text{ et }v 
\tag{2.25}
\end{equation}

\begin{definition}
\textbf{(Sous et sur solutions)}

On dit que $(u_{0},v_{0}),(u^{0},v^{0})\in H$ sont respectivement sous
solution et sur solution de $(S_{SL})$ si:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta u_{0}\leq au_{0}+bv_{0}+f(u_{0},v),\ v\in (v_{0},v^{0}) \\ 
-\Delta v_{0}\leq cu_{0}+dv_{0}+g(u,v_{0}),u\in (u_{0},u^{0})\ 
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Et:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta u^{0}\geq au^{0}+bv^{0}+f(u^{0},v),\ v\in (v_{0},v^{0}) \\ 
-\Delta v^{0}\geq cu^{0}+dv^{0}+g(u,v^{0}),u\in (u_{0},u^{0})\ 
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{theorem}
Sous les hypothses $(2.1)-(2.5)$ et $(2.25)$ il existe au moins une
solution positive de systme $(S_{SL}).$
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{Existence}

Il provient de la continuit et de la monotonie de la premire valeur propre 
$\lambda _{1}=\lambda _{1}(1,\Omega )$ par rapport au domaine $\Omega $
(voir \textit{[8]}) qu'il existe un domaine $\overline{\Omega }\subset 
\widetilde{\Omega }$ tel que $\widetilde{\lambda }_{1}=\lambda _{1}(1,%
\widetilde{\Omega })$ satisfait:%
\begin{equation*}
a<\widetilde{\lambda }_{1}<\lambda _{1},\ d<\widetilde{\lambda }_{1}<\lambda
_{1}
\end{equation*}%
\begin{equation}
(\lambda _{1}-d)(\lambda _{1}-a)>(\widetilde{\lambda }_{1}-d)(\widetilde{%
\lambda }_{1}-a)>bc  \tag{2.26}
\end{equation}

Et $\widetilde{\varphi }_{1}$ est la fonction propre positive associe  $%
\widetilde{\lambda }_{1}$donc:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta \widetilde{\varphi }_{1}=\widetilde{\lambda }_{1}\widetilde{\varphi }%
_{1},\ \ \ \widetilde{\varphi }_{1}>0\ \ \text{dans }\widetilde{\Omega } \\ 
\widetilde{\varphi }_{1}=0\ \ \ \ \text{sur }\partial \widetilde{\Omega }%
\end{array}%
\right.  \tag{2.27}
\end{equation}

On pose: 
\begin{equation}
\alpha =\inf \left\{ \widetilde{\varphi }_{1}(x):\ x\in \widetilde{\Omega }%
\right\} >0  \tag{2.28}
\end{equation}

Considrons maintenant le systme linaire%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
(\widetilde{\lambda }_{1}-a)\epsilon -b\delta =\alpha ^{-1}M=P>0 \\ 
-c\epsilon +(\widetilde{\lambda }_{1}-d)\delta =\alpha ^{-1}M=P>0%
\end{array}%
\right.  \tag{2.29}
\end{equation}

Il rsulte que $(2.29)\ $a une solution unique. Par la formule de \textbf{%
Cramer}:%
\begin{equation*}
\widetilde{D}=\left\vert 
\begin{array}{cc}
(\widetilde{\lambda }_{1}-a) & -b \\ 
-c & (\widetilde{\lambda }_{1}-d)%
\end{array}%
\right\vert =(\widetilde{\lambda }_{1}-a)(\widetilde{\lambda }_{1}-d)-bc>0
\end{equation*}%
\begin{equation}
\epsilon =\widetilde{D}^{-1}\left\vert 
\begin{array}{cc}
P & -b \\ 
P & \widetilde{\lambda }_{1}-d%
\end{array}%
\right\vert =\widetilde{D}^{-1}P\left[ (\widetilde{\lambda }_{1}-d)+b\right]
>0  \tag{2.30}
\end{equation}%
\begin{equation}
\delta =\widetilde{D}^{-1}\left\vert 
\begin{array}{cc}
\widetilde{\lambda }_{1}-a & P \\ 
-c & P%
\end{array}%
\right\vert =\widetilde{D}^{-1}P\left[ (\widetilde{\lambda }_{1}-a)+c\right]
>0  \tag{2.31}
\end{equation}

Soit $\left( (u_{0},v_{0}),(u^{0},v^{0})\right) =\left( (0,0),(\epsilon 
\widetilde{\varphi }_{1},\delta \widetilde{\varphi }_{1})\right) $ avec $%
\epsilon ,\delta $ dfinie dans $(2.30),(2.31)$ une sous-sur solution coupl%
e.

Il est vident que $(u_{0},v_{0})=(0,0)$ est une sous solution de systme $%
(S_{SL}).$

Vrifiant maintenant que $(u^{0},v^{0})=(\epsilon \widetilde{\varphi }%
_{1},\delta \widetilde{\varphi }_{1})$ une sur solution de systme $%
(S_{SL}): $

On a: $(u^{0},v^{0})=(\epsilon \widetilde{\varphi }_{1},\delta \widetilde{%
\varphi }_{1})$

et%
\begin{eqnarray*}
-\Delta u^{0}-au^{0}-bv^{0} &=&-\Delta \left( \epsilon \widetilde{\varphi }%
_{1}\right) -a\epsilon \widetilde{\varphi }_{1}-b\delta \widetilde{\varphi }%
_{1} \\
&=&\epsilon (-\Delta \widetilde{\varphi }_{1}-a\epsilon \widetilde{\varphi }%
_{1}-b\delta \widetilde{\varphi }_{1}
\end{eqnarray*}

Et comme: 
\begin{equation*}
-\Delta \widetilde{\varphi }_{1}=\widetilde{\lambda }_{1}\widetilde{\varphi }%
_{1}
\end{equation*}

Alors 
\begin{eqnarray*}
-\Delta u^{0}-au^{0}-bv^{0} &=&\widetilde{\lambda }_{1}\epsilon \widetilde{%
\varphi }_{1}-a\epsilon \widetilde{\varphi }_{1}-b\delta \widetilde{\varphi }%
_{1} \\
&=&\left[ \widetilde{(\lambda }_{1}-a)\epsilon -b\delta \right] \widetilde{%
\varphi }_{1} \\
&\geq &\left[ \widetilde{(\lambda }_{1}-a)\epsilon -b\delta \right] \alpha
=M\geq f(u^{0},v)
\end{eqnarray*}

Alors 
\begin{equation*}
-\Delta u^{0}-au^{0}-bv^{0}\geq f(u^{0},v),\ \ \forall v\in \left[ 0,v^{0}%
\right]
\end{equation*}

De mme faon pour la deuxime quation:%
\begin{equation*}
-\Delta v^{0}-cu^{0}-dv^{0}\geq g(u,v^{0}),\ \forall u\in \left[ 0,u^{0}%
\right] \ \ 
\end{equation*}

Donc on a construit une sous et sur solutions tels que:%
\begin{eqnarray*}
u_{0} &=&0<u^{0} \\
v_{0} &=&0<v^{0}
\end{eqnarray*}

Alors il existe une solution positive $(u,v)$ tel que:%
\begin{eqnarray*}
u_{0} &<&u<u^{0} \\
v_{0} &<&v<v^{0}
\end{eqnarray*}

\ \ \ \ \ \textbf{Unicit:}

L' unicit de la solution consiste  poser plus des conditions sur le non lin%
arit de $f\ $et $g.$

On a le systme 
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u=au+bv+f(u,v),\ \text{\ dans }\Omega \\ 
-\Delta v=cu+dv+g(u,v),\ \text{dans }\Omega \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u=v=0,\ \text{sur\ }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{SL}$}
\end{equation}

\ Nous supposons qu'il existe des fonctions concaves $(u,v)\longmapsto
H(u,v) $ tel que%
\begin{equation}
f(u,v)=b\frac{\partial H}{\partial u}(u,v)\text{ \ \ et \ \ }g(u,v)=c\frac{%
\partial H}{\partial v}(u,v)  \tag{2.32}
\end{equation}

On suppose $(u_{1},v_{1})\ $et $(u_{2},v_{2})\ $deux solutions de $(S_{SL}).$

On pose $w=u_{1}-u_{2}$ et $z=v_{1}-v_{2}.$

donc%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}=au_{1}+bv_{1}+f(u_{1},v_{1}),\ \text{\ dans }\Omega \\ 
-\Delta v_{1}=cu_{1}+dv_{1}+g(u_{1},v_{1}),\ \text{dans }\Omega \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u_{1}=v_{1}=0,\ \text{sur\ }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

et 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{2}=au_{2}+bv_{2}+f(u_{2},v_{2}),\ \text{\ dans }\Omega \\ 
-\Delta v_{2}=cu_{2}+dv_{2}+g(u_{2},v_{2}),\ \text{dans }\Omega \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u_{2}=v_{2}=0,\ \text{sur\ }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

donc:%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta u_{1}+\Delta
u_{2}=a(u_{1}-u_{2})+b(v_{1}-v_{2})+f(u_{1},v_{1})-f(u_{2},v_{2}) \\ 
-\Delta v_{1}+\Delta
v_{2}=c(u_{1}-u_{2})+d(v_{1}-v_{2})+g(u_{1},v_{1})-g(u_{2},v_{2})%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\Delta w=aw+bz+b\left[ \dfrac{\partial H}{\partial u}(u_{1},v_{1})-\dfrac{%
\partial H}{\partial u}(u_{2},v_{2})\right] \ \ \ \text{dans }\Omega \\ 
-\Delta z=cw+dz+c\left[ \dfrac{\partial H}{\partial v}(u_{1},v_{1})-\dfrac{%
\partial H}{\partial v}(u_{2},v_{2})\right] \ \ \ \ \text{dans }\Omega \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w=z=0,\ \text{sur\ }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Multipliant la premire quation par $\dfrac{w}{b}\ $et le deuxime quation
par $\dfrac{z}{c}$ et intgrons par partie, on obtient:%
\begin{equation*}
b^{-1}\tint\limits_{\Omega }\left( -\Delta w\right)
.w=b^{-1}a\tint\limits_{\Omega }w^{2}+\tint\limits_{\Omega
}wz+\tint\limits_{\Omega }w\left[ \frac{\partial H}{\partial u}(u_{1},v_{1})-%
\frac{\partial H}{\partial u}(u_{2},v_{2})\right]
\end{equation*}%
et%
\begin{equation*}
c^{-1}\tint\limits_{\Omega }\left( -\Delta z\right)
.z=c^{-1}d\tint\limits_{\Omega }z^{2}+\tint\limits_{\Omega
}zw+\tint\limits_{\Omega }z\left[ \frac{\partial H}{\partial v}(u_{1},v_{1})-%
\frac{\partial H}{\partial v}(u_{2},v_{2})\right]
\end{equation*}

alors%
\begin{eqnarray*}
b^{-1}\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla w\right\vert
^{2}+c^{-1}\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla z\right\vert ^{2}
&=&b^{-1}a\tint\limits_{\Omega }w^{2}+c^{-1}d\tint\limits_{\Omega
}z^{2}+2\tint\limits_{\Omega }wz+\tint\limits_{\Omega }(u_{1}-u_{2})\left( 
\dfrac{\partial H}{\partial u}(u_{1},v_{1})-\dfrac{\partial H}{\partial u}%
(u_{2},v_{2})\right) \\
&&+\tint\limits_{\Omega }(v_{1}-v_{2})\left( \dfrac{\partial H}{\partial v}%
(u_{1},v_{1})-\dfrac{\partial H}{\partial v}(u_{2},v_{2})\right)
\end{eqnarray*}

Et par la caractrisation de la premire valeur propre, on a: 
\begin{equation*}
\text{ }\lambda _{1}\left\Vert w\right\Vert ^{2}\leq \left\Vert \nabla
w\right\Vert ^{2}
\end{equation*}

Donc:%
\begin{equation*}
\ \ \ \ \ \ b^{-1}\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla w\right\vert
^{2}+c^{-1}\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla z\right\vert ^{2}\geq
b^{-1}\lambda _{1}\tint\limits_{\Omega }w^{2}+c^{-1}\lambda
_{1}\tint\limits_{\Omega }z^{2}
\end{equation*}

et 
\begin{equation*}
b^{-1}a\tint\limits_{\Omega }w^{2}+c^{-1}d\tint\limits_{\Omega
}z^{2}+2\tint\limits_{\Omega }wz\ \geq b^{-1}\lambda
_{1}\tint\limits_{\Omega }w^{2}+c^{-1}\lambda _{1}\tint\limits_{\Omega }z^{2}
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation}
\ b^{-1}(\lambda _{1}-a)\tint\limits_{\Omega }w^{2}+c^{-1}(\lambda
_{1}-d)\tint\limits_{\Omega }z^{2}\leq 2\tint\limits_{\Omega }wz\ \ \ \ \  
\tag{2.33}
\end{equation}

On choisi $\theta $ tel que:$\ $%
\begin{equation*}
c(\lambda _{1}-d)^{-1}<\theta ^{2}<b^{-1}(\lambda _{1}-a)
\end{equation*}

On a 
\begin{equation*}
\ \theta ^{2}<b^{-1}(\lambda _{1}-a)\ \ \Rightarrow \theta
^{2}\tint\limits_{\Omega }w^{2}<b^{-1}(\lambda _{1}-a)\tint\limits_{\Omega
}w^{2}
\end{equation*}
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

Et 
\begin{equation*}
\ \ \ \ \ \ c(\lambda _{1}-d)^{-1}<\theta ^{2}\Rightarrow \dfrac{1}{\theta
^{2}}<c^{-1}(\lambda _{1}-d)
\end{equation*}

Donc%
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\theta ^{2}}\tint\limits_{\Omega }z^{2}<c^{-1}(\lambda
_{1}-d)\tint\limits_{\Omega }z^{2}
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
\theta ^{2}\tint\limits_{\Omega }w^{2}+\dfrac{1}{\theta ^{2}}%
\tint\limits_{\Omega }z^{2}<b^{-1}(\lambda _{1}-a)\tint\limits_{\Omega
}w^{2}+c^{-1}(\lambda _{1}-d)\tint\limits_{\Omega }z^{2}
\end{equation*}

Par $(2.33)$, on trouve:%
\begin{equation*}
b^{-1}(\lambda _{1}-a)\tint\limits_{\Omega }w^{2}+c^{-1}(\lambda
_{1}-d)\tint\limits_{\Omega }z^{2}\leq \theta ^{2}\tint\limits_{\Omega
}w^{2}+\dfrac{1}{\theta ^{2}}\tint\limits_{\Omega }z^{2}<b^{-1}(\lambda
_{1}-a)\tint\limits_{\Omega }w^{2}+c^{-1}(\lambda
_{1}-d)\tint\limits_{\Omega }z^{2}
\end{equation*}

Donc: $w=z=0.$

D'o l'unicit de la solution.$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\ 
\end{proof}

\begin{remark}
La condition $(2.32)$ est satisfaite en particulier si $f$ (resp $g$) dpend
uniquement de $u$ (resp $v$) et dcroissante pour $u>0$ (resp $v>0$)
\end{remark}

\begin{remark}
Si $f(0,0)=g(0,0)=0,$ le systme $(S_{SL})$ possde toujours la solution
triviale $u=v=0;$ le mme pour $(S_{SL})$ sous l'hypothse $(2.25).$ Donc
des conditions $f(0,0)>0,\ g(0,0)>0$, associes  $(2.25)$ et $(2.32)$
assurent l'existence et l'unicit d'une solution positive non triviale  de $%
(S_{SL})$
\end{remark}

\section{Gnralisation  un systme de $n$ quations}

\ \ \ \ \ Nous utilisons la mthode de sous-sur solution, pour prouver
l'existence de solutions pour le systme coopratif semi-linaire  $n$ %
quations.

\ \ \ \ \ Soit le systme

\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta u_{i}=\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\ +f_{i\ \ \ \ \ \ }\text{%
dans }\Omega \\ 
u_{i}=0\ \ \ \text{ sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{SL}^{\prime }$}
\end{equation}

Hypothses: on suppose que pour tout $1\leq i\leq n$ il existe $\vartheta
_{i}\in L^{2}(\Omega ),\ \vartheta _{i}>0,\ \exists \ M>0$ tel que%
\begin{equation}
(\Lambda _{1}^{+}-(A+MI))\text{ est une M-matrice non singulire}  \tag{2.34}
\end{equation}

\begin{equation}
0\leq f_{i}(x,U)=f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\leq Mu_{i}+\vartheta _{i}\ 
\text{pour }u_{i}\geq 0  \tag{2.35}
\end{equation}%
\begin{equation}
f_{i}\ \text{sont des fonctions Lipshitizienne}  \tag{2.36}
\end{equation}

\begin{theorem}
Le systme $(S_{SL}^{\prime })$ a au moins une solution positive si les
conditions $(2.7),(2.34)-(2.36)$ sont satisfaites

O $\Lambda _{1}^{+}$ est dfini par la relation $(2.10)$ et $I$ la matrice
d'identit.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\ $On ultilise la mthode de sous et sur solutions.

\ \ \ \ \ Considrons maintenant le systme:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
(-\Delta +mI)u_{i}=(m+a_{ii})u_{i}+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}u_{j}+Mu_{i}+\vartheta _{i}\ \text{dans }\Omega \\ 
u_{i}=0\ \ \ \text{ sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{SL}^{\prime \prime }$}
\end{equation}%
Il rsulte du thorme $(2.4)$ que sous la condition $(2.32)$ le systme $%
(S_{SL}^{\prime \prime })$ a une solution positive 
\begin{equation*}
U^{0}=(u_{1}^{0},u_{2}^{0},...,u_{n}^{0})
\end{equation*}%
Par $(2.32),\ U^{0}=(u_{1}^{0},u_{2}^{0},...,u_{n}^{0})$ est une sur
solution, (i.e) 
\begin{equation}
-\Delta u_{i}^{0}\geq a_{ii}u_{i}^{0}+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}u_{j}^{0}+f_{i}(x,(u_{1}^{0},u_{2}^{0},...,u_{n}^{0}))\ \ \ 
\text{dans }\Omega  \tag{2.37}
\end{equation}%
videment par $(2.35),\ U_{0}=(0,0,...,0)$ est une sous solution, (i.e):%
\begin{equation}
-\Delta u_{i0}\leq a_{ii}u_{i0}+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}u_{j0}+f_{i}(x,(u_{10},u_{20},...,u_{n0}))\ \ \ \text{dans }%
\Omega  \tag{2.38}
\end{equation}%
$\ $On dfini l'oprateur compact $T$ tel que%
\begin{equation*}
T:[U_{0},U^{0}]\longrightarrow \left[ L^{2}(\Omega )\right] ^{n}
\end{equation*}%
\begin{equation}
T:U=\left( 
\begin{array}{c}
u_{1} \\ 
u_{2} \\ 
\vdots \\ 
u_{n}%
\end{array}%
\right) \longmapsto V=\left( 
\begin{array}{c}
v_{1} \\ 
v_{2} \\ 
\vdots \\ 
v_{n}%
\end{array}%
\right) =TU  \tag{2.39}
\end{equation}%
O $V$ est la solution unique de systme suivant:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
(-\Delta +mI)v_{i}=(m+a_{ii})u_{i}+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}u_{j}+f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\ \ \ \text{dans }\Omega \
\ \  \\ 
v_{i}=0\ \ \ \text{ sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{SL}^{\ast }$}
\end{equation}%
O $m\geq 0$, $m+a_{ii}>0.$L'quation de systme $(S^{\ast \ast })$ peut %
tre recrite comme%
\begin{equation*}
v_{i}=(-\Delta +mI)^{-1}\left[ (m+a_{ii})u_{i}+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}u_{j}+f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\right]
\end{equation*}%
Il rsulte de $(2.35)$ et par le cas scalaire que $TU$ est bien dfini

\ \ \ \ \ Nous prouvons maintenant que$\ T$ est un oprateur continue et
donc par $(2.36)$ et par la compacit des oprateurs $(-\Delta +mI)^{-1},\ T$
est compact.

Soient $\left( U_{k}\right) _{k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}$ des suites convergentes dans $\left( L^{2}(\Omega )\right) ^{n}:\forall \
1\leq i\leq n,\ u_{ik}\longrightarrow u_{i}.$

On pose $T(U_{k})=V_{k}$ et $T(U)=V$%
\begin{eqnarray*}
(-\Delta +mI)(v_{ik}-v_{i}) &=&(m+a_{ii})(u_{ik}-u_{i}) \\
&&+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}(u_{jk}-u_{j})+f_{i}(x,(u_{1k},u_{2k},...,u_{nk}))-f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))
\end{eqnarray*}%
Nous multiplions chaque quation par $(v_{ik}-v_{i})$ et intgrons sur $%
\Omega $, on obtient:%
\begin{eqnarray*}
\tint\limits_{\Omega }(-\Delta +mI)(v_{ik}-v_{i})(v_{ik}-v_{i})
&=&(m+a_{ii})\tint\limits_{\Omega }(u_{ik}-u_{i})(v_{ik}-v_{i}) \\
&&+\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega
}(u_{jk}-u_{j})(v_{ik}-v_{i}) \\
&&+\tint\limits_{\Omega }\left[
f_{i}(x,(u_{1k},u_{2k},...,u_{nk}))-f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\right]
(v_{ik}-v_{i})
\end{eqnarray*}%
Par l'ingalit de Cauchy Schwatz on obtient: 
\begin{eqnarray*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla (v_{ik}-v_{i})\right\vert
^{2}+m\tint\limits_{\Omega }\left\vert v_{ik}-v_{i}\right\vert ^{2}
&=&(m+a_{ii})\left( \tint\limits_{\Omega }(v_{ik}-v_{i})^{2}\right) ^{\frac{1%
}{2}}\left( \tint\limits_{\Omega }(u_{ik}-u_{i})^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&&+\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\left( \tint\limits_{\Omega
}(u_{jk}-u_{j})^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \tint\limits_{\Omega
}(v_{ik}-v_{i})^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&&+\left( \tint\limits_{\Omega }\left[
f_{i}(x,(u_{1k},u_{2k},...,u_{nk}))-f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\right]
^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&&\cdot \left( \tint\limits_{\Omega }(v_{ik}-v_{i})^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}%
Alors 
\begin{equation*}
\left\Vert v_{ik}-v_{i}\right\Vert _{m}^{2}\leq \left\Vert
v_{ik}-v_{i}\right\Vert _{L^{2}(\Omega )}\left[ 
\begin{array}{c}
(m+a_{ii})\left\Vert u_{ik}-u_{i}\right\Vert _{L^{2}(\Omega
)}+\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\left\Vert u_{jk}-u_{j}\right\Vert
_{L^{2}(\Omega )} \\ 
+\left\Vert
f_{i}(x,(u_{1k},u_{2k},...,u_{nk}))-f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\right%
\Vert _{L^{2}(\Omega )}%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}%
Par $(2.36)$%
\begin{equation*}
\left\Vert v_{ik}-v_{i}\right\Vert _{m}^{2}\leq
C\tsum\limits_{j=1}^{n}\left\Vert u_{jk}-u_{j}\right\Vert _{L^{2}(\Omega
)}\longrightarrow 0\ \text{si }k\longrightarrow +\infty
\end{equation*}

$[U_{0},U^{0}]$ est un intrvalle invariant par $T:\ T\left( \left[
U_{0},U^{0}\right] \right) \subseteq \left[ U_{0},U^{0}\right] $

Il rsulte de $(2.35)$ que $1\leq i\leq n,\
f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\geq 0$ pour tout\ $u_{i}\geq 0,$ donc pour $%
U\geq U_{0}$ on obtient 
\begin{equation*}
\left[ (m+a_{ii})u_{i}+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}u_{j}+f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\right] \geq 0
\end{equation*}

Puis appliquer le principe de maximum , on obtient%
\begin{equation*}
TU\geq U_{0}=(0,0,...,0)
\end{equation*}

Nous montrons que $0\leq $ $U\leq U^{0}$ implique que $TU\leq U^{0}.$

Nous soustrayons $(2.38)$ de l'quation de systme $(S_{SL}^{\ast }):$%
\begin{equation*}
(-\Delta
+mI)(u_{i}^{0}-v_{i})=(m+a_{ii})(u_{i}^{0}-u_{i})+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}(u_{j}^{0}-u_{j})+Mu_{i}^{0}+\vartheta
_{i}-f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))
\end{equation*}

Bien sur 
\begin{equation*}
(m+a_{ii})(u_{i}^{0}-u_{i})+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}(u_{j}^{0}-u_{j})\geq 0
\end{equation*}%
Par $(2.35)$ 
\begin{equation*}
0\leq f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))\leq Mu_{i}+\vartheta _{i}
\end{equation*}

Donc 
\begin{equation*}
(-\Delta +mI)(u_{i}^{0}-v_{i})\geq 0
\end{equation*}

Par le cas scalaire $u_{i}^{0}-v_{i}\geq 0,\ $alors $[U_{0},U^{0}]$ est un
intrvalle invariant par $T$

Puisque $[U_{0},U^{0}]$ est convex, born et ferm dans $\left[ L^{2}(\Omega
)\right] ^{n},$ on peut appliquer le thorme de point fixe de schauder qui
donne l'existence d'au moins une solution dans $[U_{0},U^{0}]$
\end{proof}

\ \ \ \ \ Pour prouver l'unicit, nous supposons qu'il existe une fonction
concave 
\begin{equation*}
(u_{1},u_{2},...,u_{n})\longrightarrow H(x,u_{1},u_{2},...,u_{n})
\end{equation*}

telle que 
\begin{equation}
f_{i}(x,(u_{1},u_{2},...,u_{n}))=\dfrac{\partial H}{\partial u_{i}}%
(x,u_{1},u_{2},...,u_{n})  \tag{2.40}
\end{equation}

\begin{theorem}
le systme $(S_{L}^{\prime })$ a une solution unique si les conditions $%
(2,3),(2.34)-(2.36)$ et $(2.40)$ sont satisfaites
\end{theorem}

\begin{proof}
Si $(\Lambda _{1}^{+}-(A+MI))$ est une M-matrice non singulire, $(\Lambda
_{1}^{+}-A)$ est aussi une M-matrice non singulire alors nous considrons
une matrice diagonale $D$ telle que $(\Lambda _{1}^{+}-A)^{t}D$ $+D(\Lambda
_{1}^{+}-A)$ est dfinie positive

Supposons que $U=(u_{1},u_{2},...,u_{n})$ et $V=(v_{1},v_{2},...,v_{n})$
sont solutions de $(S_{L}^{\prime })$;\ on pose $W=U-V$ alors 
\begin{equation*}
-\Delta w_{i}=a_{ii}w_{i}+\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}w_{j}+\left[ 
\dfrac{\partial H}{\partial u_{i}}(u_{1},u_{2},...,u_{n})-\dfrac{\partial H}{%
\partial v_{i}}(u_{1},u_{2},...,u_{n})\right]
\end{equation*}

multipliant chaque quation par $d_{i}w_{i}$ et ajoutant les $n$ quations,
on obtient%
\begin{equation*}
\tsum\limits_{i=1}^{i=n}d_{i}\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla
w_{i}\right\vert
^{2}=\tsum\limits_{i=1}^{i=n}d_{i}a_{ii}\tint\limits_{\Omega
}w_{i}^{2}+\tsum\limits_{j\neq i}^{n}d_{i}a_{ij}\tint\limits_{\Omega
}w_{i}w_{j}+\tsum\limits_{i=1}^{i=n}d_{i}\tint\limits_{\Omega }\left[ \dfrac{%
\partial H}{\partial u_{i}}(u_{1},u_{2},...,u_{n})\_\dfrac{\partial H}{%
\partial v_{i}}(u_{1},u_{2},...,u_{n})\right] \left( w_{i}\right)
\end{equation*}

Par $(2.40)$ on obtient:%
\begin{equation*}
\tsum\limits_{i=1}^{i=n}d_{i}(\Lambda _{i}^{+}-a_{ii})\tint\limits_{\Omega
}w_{i}^{2}\leq \tsum\limits_{j\neq i}^{n}d_{i}a_{ij}\tint\limits_{\Omega
}w_{i}w_{j}\leq \tsum\limits_{j\neq i}^{n}d_{i}a_{ij}\tint\limits_{\Omega
}w_{i}^{2}\tint\limits_{\Omega }w_{j}^{2}
\end{equation*}

On pose $X=(x_{i})_{1\leq i\leq n}$ avec $x_{i}=\tint\limits_{\Omega
}w_{i}^{2},$ on prend $X^{t}D$ $(\Lambda _{i}^{+}-A)X\leq 0$ ou quivalent $%
X^{t}((\Lambda _{i}^{+}-A)^{t}D+D(\Lambda _{i}^{+}-A))X\leq 0$

Donc $(\Lambda _{i}^{+}-A)^{t}D+D(\Lambda _{i}^{+}-A)$ est dfinie positive, 
a suit $X=0\ (w_{i}=0\ \forall \ 1\leq i\leq n)$
\end{proof}

\chapter{L'tude des systmes elliptiques intervenant le p-Laplacien}

\section{Le principe de maximum et l'existence d'une solution positive pour
une seul quation}

\ \ \ \ \ Dans cette partie par donner $p>1$, nous tudions l'quation
non-linaire$(S_{NL}).$%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}u=-\func{div}(\left\vert \nabla u\right\vert ^{p-2}\nabla
u)=a\psi _{p}(u)+f\ \ \ \ \text{dans\ }\Omega \\ 
u=0\ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{NL}$}
\end{equation}

O $a\ $est une constante, $\Delta _{p}u=\func{div}(\left\vert \nabla
u\right\vert ^{p-2}\nabla u)$ , $\psi _{p}(u)=\left\vert u\right\vert
^{p-2}u $ et $f\in L^{p\ast }$ avec $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p\ast }=1$

On indique par $\varphi _{1}$ la fonction propre associe  la valeur propre 
$\Lambda =\lambda _{1}(p,\Omega )$ normalise par:%
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi _{1}\right\Vert =1
\end{equation*}%
Alors 
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}\varphi _{1}=\Lambda \psi _{p}(\varphi _{1})=\lambda
_{1}(p,\Omega ).\varphi _{1}{}^{p-1},\ \ \varphi _{1}>0 \\ 
\varphi _{1}=0\ \ \ \ \text{sur }\ \partial \Omega \ \ \ \ 
\end{array}%
\right.  \tag{$3.1$}
\end{equation}

\ \ \ \ \ Rappelons que $\Lambda =\lambda _{1}(p,\Omega )$ est positive et
simple, et par la caractrisation variationnelle de la premire valeur
propre $\Lambda $, on obtient:%
\begin{equation}
\Lambda \left\Vert u\right\Vert ^{p}\leq \left\Vert \nabla u\right\Vert ^{p}
\tag{3.2}
\end{equation}

Et l'ingalit est satisfait si et seulement si:%
\begin{equation}
u=k\varphi _{1}  \tag{3.3}
\end{equation}

\subsection{Le principe de maximum}

\ \ \ \ \ Nous prouvons le principe de maximum pour le p-Laplacien, qui est
une extension naturelle de celui o $p=2.$

Nous nous intressons  la forme suivante du principe de maximum, l'hypoth%
se $f\geq 0$ sur $\Omega $ implique $u\geq 0$ pour toute solution $u$ de $%
(S_{NL})$

\begin{theorem}
Pour $f\in L^{p^{\ast }}(\Omega )$, le principe de maximum est vrifi pour
le systme $(S_{NL})$ si est seulement si 
\begin{equation*}
a<\Lambda
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Supposons que $a>\Lambda \ $et $-\varphi _{1}\leq 0.$

On a 
\begin{equation*}
\Delta _{p}\varphi _{1}=-\Lambda \psi _{p}(\varphi _{1})=-a\psi _{p}(\varphi
_{1})+f\ \ 
\end{equation*}

Donc:\ $f=(a-\Lambda )\Psi _{p}(\varphi _{1})$ est non ngative et jamais $%
\left( -\varphi _{1}\right) $ satisfait $(3.1)$ et aussi le principe de
maximum n'est pas satisfait.

\ \ \ \ \ \textbf{Inversement:}

Supposons que $a<\Lambda $

\ \ \ \ \ Multiplions l'quation de systme $(S_{NL})\ $par $u^{-}$ et int%
grons sur $\Omega ,$ on obtient:%
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left( -\Delta _{p}u\right) u^{-}=\tint\limits_{\Omega
}\left\vert \nabla u\right\vert ^{p-2}\nabla u\nabla u^{-}=a\left\vert
u\right\vert ^{p-2}uu^{-}+\tint\limits_{\Omega }fu^{-}
\end{equation*}

Et comme $u^{-}=\max (0,-u),$ alors%
\begin{equation*}
-\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u^{-}\right\vert ^{2}=-a\left\vert
u^{-}\right\vert ^{p}+\tint\limits_{\Omega }fu^{-}
\end{equation*}

et d'aprs $(3.2)$%
\begin{equation*}
\ \ \ \ \ \Lambda \left\Vert u^{-}\right\Vert ^{p}\leq a\left\vert
u^{-}\right\vert ^{p}-\tint\limits_{\Omega }fu^{-}\leq a\left\vert
u^{-}\right\vert ^{p}
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
(\Lambda -a)\left\Vert u^{-}\right\Vert ^{p}\leq 0
\end{equation*}

Alors $u^{-}=0,$ $u\geq 0$
\end{proof}

\subsection{L'existence et l'unicit de la solution}

\ \ \ \ \ Nous tablissons maintenant que la mme condition $a<\Lambda $ est
aussi suffisante pour l'existence d'un solution positive de l'quation
quasi-linaire 
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}u=-\func{div}(\left\vert \nabla u\right\vert ^{p-2}\nabla
u)=a\psi _{p}(u)+f(x,u)\ \ \ \ \text{dans\ }\Omega \\ 
u=0\ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{NL}^{\prime }$}
\end{equation}

O 
\begin{equation}
f\ \text{est une fonction\textbf{\ Caratheodory}}  \tag{3.4}
\end{equation}

Il existe $M>0$ et $0\leq \sigma <1$ satisfait la condition 
\begin{equation}
0\leq f(x,u)\leq M(1+\left\vert u\right\vert ^{\sigma (p-1)})\text{pour tout 
}x\in \Omega \ \text{et }u\geq 0  \tag{3.5}
\end{equation}

\begin{corollary}
Si $\lambda _{1}(P,\Omega )>\gamma >0,$il existe certains $\overline{\Omega }%
\subset \widetilde{\Omega }$ tel que%
\begin{equation*}
\gamma <\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })<\lambda _{1}(P,\Omega )
\end{equation*}
\end{corollary}

\ \ \ \ \ Il rsulte de la continuit et de la monotonie de la premire
valeur propre $\lambda _{1}=\lambda _{1}(P,\Omega )$ par rapport au domaine $%
\Omega $, qu'il existe un domaine $\widetilde{\Omega }\supset \overline{%
\Omega }=\Omega \cup \partial \Omega $ tel que$\ \widetilde{\lambda }%
_{1}=\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })$ satisfait 
\begin{equation}
a<\ \widetilde{\lambda }_{1}=\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })<\lambda
_{1}(P,\Omega )  \tag{3.6}
\end{equation}

Si $\widetilde{\varphi }_{1}$ la fonction propre associe  $\widetilde{%
\lambda }_{1}$ et normalise par $\left\Vert \widetilde{\varphi }%
_{1}\right\Vert _{\infty }=1$, alors comme $(S_{NL}^{\prime })$, $\widetilde{%
\varphi }_{1}$ satisfait:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}\widetilde{\varphi }_{1}=\widetilde{\lambda }_{1}\Psi _{p}(%
\widetilde{\varphi }_{1})=\widetilde{\lambda }_{1}(p,\widetilde{\Omega }).%
\widetilde{\varphi }_{1}{}^{p-1},\ \ \widetilde{\varphi }_{1}>0\ \ \ \text{%
dans }\widetilde{\Omega } \\ 
\widetilde{\varphi }_{1}=0\ \ \ \ \text{sur }\ \partial \widetilde{\Omega }\
\ \ \ 
\end{array}%
\right.  \tag{$3.7$}
\end{equation}

et elle sera born sur $\widetilde{\Omega }$ par le nombre positif:%
\begin{equation}
\beta =\inf \left\{ \widetilde{\varphi }_{1}(x),\ \ x\in \widetilde{\Omega }%
\right\} >0  \tag{3.8}
\end{equation}

$m$ et $\delta $ sont des nombres donn satisfaisants 
\begin{equation}
a+m>0  \tag{3.9}
\end{equation}

On dfini l'oprateur $T$ par%
\begin{equation}
T:u\longrightarrow (-\Delta _{p}+m\psi _{p})^{-1}\left[ (a+m)\psi
_{p}(u)+f(x,u)\right]  \tag{3.10}
\end{equation}

On va choisi $\delta $ tel que:

\begin{equation*}
(\delta \beta )^{p-1}(\widetilde{\lambda }_{1}-a)\geq M(1+\left\vert
u\right\vert ^{\sigma (p-1)})
\end{equation*}%
alors 
\begin{equation}
\ (\delta \beta )^{p-1}\geq (\widetilde{\lambda }_{1}-a)^{-1}M(1+\left\vert
u\right\vert ^{\sigma (p-1)})  \tag{3.11}
\end{equation}

$T$ est bien dfini$\ $en $L^{P}(\Omega ),$ (voir $\left[ 21\right] ,[4]$).

\begin{theorem}
Le systme $(S_{NL}^{\prime })$ a une solution positive faible sous les
conditions $(3.5)-(3.10)$, et la proposition prcdente et du corollaire $%
(3.1)$ si%
\begin{equation*}
\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })>a
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Nous procdons en trois tapes:

$1)\ $Construction de sous -sur solution pour $(S_{NL}^{\prime })$

Soient $(u_{0},u^{0})=(0,\delta \widetilde{\varphi }_{1})$ sous-sur solution
couple.

Pour cela nous prouvons que:

\begin{equation}
-\Delta _{p}u^{0}-a\psi _{p}(u^{0})-f(x,u^{0})\geq 0  \tag{3.12}
\end{equation}%
$\ $

Par $(S_{NL}^{\prime }),(3.10),(3.11)$ et $\left\Vert \widetilde{\varphi }%
_{1}\right\Vert _{\infty }=1$ on obtient:%
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
-\Delta _{p}u^{0}-a\Psi _{p}(u^{0})-f(x,u^{0})=-\Delta _{p}(\delta 
\widetilde{\varphi }_{1})-a\psi _{p}(\delta \widetilde{\varphi }%
_{1})-f(x,\delta \widetilde{\varphi }_{1}) \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \geq \widetilde{\lambda }_{1}\psi _{p}(\delta \widetilde{\varphi 
}_{1})-a\psi _{p}(\delta \widetilde{\varphi }_{1})-M(1+\left\vert
u\right\vert ^{\sigma (p-1)}) \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ =(\widetilde{\lambda }_{1}-a)\psi _{p}(\delta \widetilde{\varphi 
}_{1})-M(1+\left\vert \delta \right\vert ^{\sigma (p-1)}) \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \geq (\widetilde{\lambda }_{1}-a)\psi _{p}(\delta \beta
)-M(1+\left\vert \delta \right\vert ^{\sigma (p-1)}) \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ =(\widetilde{\lambda }_{1}-a)\left\vert \delta \beta \right\vert
^{p-1}-M(1+\left\vert \delta \right\vert ^{\sigma (p-1)})%
\end{array}%
\end{equation*}

Par $(3.12)$ on trouve 
\begin{equation*}
\ \ \ \ \ (\widetilde{\lambda }_{1}-a)(\delta \beta )^{p-1}-M(1+\left\vert
\delta \right\vert ^{\sigma (p-1)})\geq 0
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
(\widetilde{\lambda }_{1}-a)(\delta \beta )^{p-1}\geq M(1+\left\vert \delta
\right\vert ^{\sigma (p-1)})
\end{equation*}

Donc%
\begin{equation*}
(\delta \beta )^{p-1}\geq (\widetilde{\lambda }_{1}-a)^{-1}M(1+\left\vert
\delta \right\vert ^{\sigma (p-1)})
\end{equation*}

$2)$ L'oprateur $T$ dfini en $(3.10)$ envoie l'intrvalle $\left[ 0,\delta 
\widetilde{\varphi }_{1}\right] $ en lui mme (i.e):%
\begin{equation*}
T\left( \left[ 0,\delta \widetilde{\varphi }_{1}\right] \right) \subseteq %
\left[ 0,\delta \widetilde{\varphi }_{1}\right]
\end{equation*}

Pour prouver cela: soit $u\in \left[ 0,\delta \widetilde{\varphi }_{1}\right]
$ et $v=Tu$; de la monotonie du pseudo-Laplacien $[21]$ et par $(3.8)$

et $(3.9),$ et comme $(v-\delta \widetilde{\varphi }_{1})^{+}=\max (v-\delta 
\widetilde{\varphi }_{1},0)$ on obtient:%
\begin{eqnarray*}
&&\ \ \ \left( \tint\limits_{\Omega }-\Delta _{p}(v)+m\psi _{p}(v)+\Delta
_{p}(\delta \widetilde{\varphi }_{1})-m\psi _{p}(\delta \widetilde{\varphi }%
_{1})\right) (v-\delta \widetilde{\varphi }_{1})^{+} \\
&=&m\tint\limits_{\Omega }\left( \psi _{p}(v)-\psi _{p}(\delta \widetilde{%
\varphi }_{1})\right) (v-\delta \widetilde{\varphi }_{1})^{+} \\
&\leq &\tint\limits_{\Omega }\left( (a+m)\psi _{p}(u)+f(x,u)-\ (\widetilde{%
\lambda }_{1}+m)\psi _{p}(\delta \widetilde{\varphi }_{1})\right) \cdot
(v-\delta \widetilde{\varphi }_{1})^{+} \\
&\leq &\tint\limits_{\Omega }\left( (a+m)\psi _{p}(u)+M(1+\left\vert \delta
\right\vert ^{\sigma (p-1)})-\ (\widetilde{\lambda }_{1}+m)\psi _{p}(\delta 
\widetilde{\varphi }_{1})\right) (v-\delta \widetilde{\varphi }_{1})^{+}
\end{eqnarray*}

De la motonie de $\psi _{p}$, on en dduit 
\begin{equation*}
v\leq \delta \widetilde{\varphi }_{1}
\end{equation*}

De mme ( ou par le principe de maximum) $v\geq 0.$

$3)\ T$ est compact

L'injection compact de $W_{0}^{1}(\Omega )$ dans $L_{p}(\Omega )$ est
compact.

Par consquent, il rsulte du thorme de points fixes de Schauder qu'il
existe au moins une solution positive.

De plus$,\ u>0$ dans $\Omega $ et la drive normale est ngative sur $%
\partial \Omega $

Pour montrer l'unicit, nous avons besoin d'une autre hypothse:%
\begin{equation}
u\longrightarrow \frac{f(x,u)}{u^{p-1}}\text{ est une fonction dcroissante}
\tag{3.13}
\end{equation}

Supposons que $u_{1}>0,\ u_{2}>0$ sont deux solutions de $(S_{NL})$, alors
par $(3.10)$ on obtient 
\begin{equation*}
\dint\limits_{\Omega }\left( \frac{-\Delta _{p}(u_{1})}{u_{1}^{p-1}}+\frac{%
\Delta _{p}(u_{2})}{u_{2}^{p-1}}\right)
(u_{1}^{p}-u_{2}^{p})=\dint\limits_{\Omega }\left( \frac{f(x,u_{1})}{%
u_{1}^{p-1}}+\frac{f(x,u_{2})}{u_{2}^{p-1}}\right) (u_{1}^{p}-u_{2}^{p})
\end{equation*}

Mais, par \textbf{Diaz }et \textbf{Saa }(voir \textit{[14]})%
\begin{equation*}
\Im (u_{1},u_{2})=\dint\limits_{\Omega }\left( \frac{-\Delta _{p}(u_{1})}{%
u_{1}^{p-1}}+\frac{\Delta _{p}(u_{2})}{u_{2}^{p-1}}\right)
(u_{1}^{p}-u_{2}^{p})>0,\ \text{si }u_{1}>0,\ u_{2}>0,\ u_{1}\neq ku_{2}
\end{equation*}

.De sorte que ncessairement, $k=1;$remplacement en $(S_{4})$, on trouve%
\begin{equation*}
k=1,\ \text{ou }u_{1}=u_{2}
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{remark}
Il est bien connu que $a<\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })$ implique
l'existence et l'unicit; des rsultats beaucoup plus gnraux sont donnes
en $[4];$ nanmoins, la ncessit de cette condition qui rsulte imm%
diatement du thorme $(3.2)$ semble tre nouvelle.
\end{remark}

\section{Le principe de maximum et l'existence d'une solution positive pour
le p-Laplacien}

\ \ \ \ \ Soit le systme

\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}u_{i}=\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\left\vert u_{j}\right\vert
^{p-2}u_{j}+f_{i}(x,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})\ \ \ \text{dans }\Omega \\ 
u_{i}=0\ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{PL}$}
\end{equation}

qui est peut aussi tre crit comme:%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}U=A\psi _{p}(U)+F\ \ \ \text{dans }\Omega \\ 
U=0\ \ \ \text{ sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{PL}^{\prime }$}
\end{equation}

O $U\ ($resp $F)$ dsigne une matrice de colonne avec des lments $u_{i}($%
resp $f_{i}),\ \psi _{p}(U)$ une matrice colonne avec des lments $\psi
_{p}(u_{j})=\left\vert u_{j}\right\vert ^{p-2}u_{j}$ et $A=(a_{ij})\in
M_{n\times n}.$ Comme si-dessus, $p>1.$

\ \ \ \ \ De plus, nous supposons que les coefficients $a_{ij}$ sont
constants et%
\begin{equation}
a_{ij}\geq 0\ \text{pour }i\neq j  \tag{3.14}
\end{equation}%
\begin{equation}
f_{i}\in L^{P^{\ast }}(\Omega )  \tag{3.15}
\end{equation}

\subsection{Le principe de maximum}

\begin{theorem}
Le principe de maximum est vrifi pour le systme $(S_{NL})$ sous les
conditions $(3.14),(3.15)$ si et seulement si la matrice carr $(\Lambda
I-A) $ est une M-matrice non singulire avec $\Lambda =\lambda _{1}(P,\Omega
)$
\end{theorem}

\ \ \ \ \ Introduisons d'abord quelques notations et prliminaires
techniques.

Pour $1\leq k\leq n,\ $nous dsignons par $B_{k}$ a la matrice obtenue en
prenant les $(n-k)$ derinires lignes et colonnes hors de la matrice $%
B=(\Lambda I-A)$

$\ \ \ \ \ \ $On dit qu'une matrice non singulire $B=(b_{ij})$ est une
M-matrice si $b_{ij}\leq 0$ pour $i\neq j,\ b_{ii}>0$ et $\det B_{k}>0$ pour 
$\ 1\leq k\leq n.$

\begin{lemma}
Soient $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ et $1\leq k\leq n-1,$ $B=(\Lambda I-A)\in M_{n,n},$ avec des coefficients $%
a_{ij}$ en $A$ tels que $a_{ij}\geq 0$ pour $i\neq j.$ De plus, nous
supposons que%
\begin{equation*}
\text{tous les mineurs principaux, avec l'ordre }\leq k\text{ de }B_{k}\text{
sont positifs}
\end{equation*}

Alors, pour tout $\alpha _{i}\geq 0,\ \beta _{i}\geq 0,\ \gamma \geq 0\ $%
(resp $>0$), on obtient%
\begin{equation*}
D_{k}=\left\vert 
\begin{array}{cccc}
b_{1,1} & \ldots & b_{1,k} & -\alpha _{1} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
b_{k,1} & \ldots & b_{k,k} & -\alpha _{k} \\ 
-\beta _{1} & \ldots & -\beta _{k} & -\gamma%
\end{array}%
\right\vert \leq 0\ \text{(resp }<0)\text{ avec }B_{k}=\left\vert 
\begin{array}{ccc}
b_{1,1} & \ldots & b_{1,k} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
b_{k,1} & \ldots & b_{k,k}%
\end{array}%
\right\vert >0
\end{equation*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Nous prouvons le lemme prcdent par induction sur $k:$%
\begin{eqnarray*}
D_{k+1} &=&\dsum\limits_{j=1}^{j=k}(-1)^{k+1+j}(-\alpha _{j})\left\vert 
\begin{array}{ccccc}
b_{1,1} & \ldots & b_{1,j} & \ldots & b_{1,k} \\ 
\vdots & \ldots & \vdots & \ldots & \vdots \\ 
b_{j-1,1} & \ldots & b_{j-1,j} & \ldots & b_{j-1,k} \\ 
b_{j+1,1} & \ldots & b_{j+1,j} & \ldots & b_{j+1,k} \\ 
\vdots & \ldots & \vdots & \ldots & \vdots \\ 
b_{k,1} & \ldots & b_{k,j} & \ldots & b_{k,k} \\ 
-\beta _{1} & \ldots & -\beta _{j} & \ldots & -\beta _{k}%
\end{array}%
\right\vert +\cdots +(-\gamma )B_{k} \\
&=&\dsum\limits_{j=1}^{j=k}(-1)^{2k+1}(-\alpha _{j})\left\vert 
\begin{array}{ccccccc}
b_{1,1} & ... & b_{1,j-1} & b_{1,j+1} & ... & b_{1,k} & b_{1,j} \\ 
\vdots & ... & \vdots & \vdots & ... & \vdots & \vdots \\ 
b_{j-1,1} & ... & b_{j-1,j-1} & b_{j-1,j+1} & ... & b_{j-1,k} & b_{j-1,j} \\ 
b_{j+1,1} & ... & b_{j+1,j-1} & b_{j+1,j+1} & ... & b_{j+1,k} & b_{j+1,j} \\ 
\vdots & ... & \vdots & \vdots & ... & \vdots & \vdots \\ 
b_{k,1} & ... & b_{k,j-1} & b_{k,j+1} & ... & b_{k,k} & b_{k,j} \\ 
-\beta _{1} & ... & -\beta _{j-1} & -\beta _{j+1} & ... & -\beta _{k} & 
-\beta _{j}%
\end{array}%
\right\vert +\cdots +(-\gamma )B_{k}
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{lemma}
Soit $B_{n}=\lambda I-A,$ supposons que tous les mineurs principaux d'ordre $%
j\leq k$ extraits de $B_{n}\ $\ sont positifs si $\det B_{k+1}<0,$ alors
pour tous $Y\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{K+1},\ Y\ >0,\ $\ la solution $X\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{K+1}$ de l'quation $B_{k+1}X=Y$ est ngative
\end{lemma}

\begin{proof}
Par lemme $(4.1)$%
\begin{eqnarray*}
X_{i} &=&\dfrac{1}{\det B_{k+1}}\left\vert 
\begin{array}{ccccccc}
b_{1,1} & ... & b_{1,i-1} & Y_{1} & b_{1,i+1} & ... & b_{1,k+1} \\ 
b_{i-1,1} & ... & b_{i-1,i-1} & Y_{i-1} & b_{i-1,i+1} & ... & b_{i-1,k+1} \\ 
b_{i,1} & ... & b_{i,i-1} & Y_{i} & b_{i,i+1} & ... & b_{i,k+1} \\ 
b_{i+1,1} & ... & b_{i+1,i-1} & Y_{i+1} & b_{i+1,i+1} & ... & b_{i+1,k+1} \\ 
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ 
b_{k+1,1} & ... & b_{k+1,i-1} & Y_{k+1} & b_{k+1,i+1} & ... & b_{k+1,k+1}%
\end{array}%
\right\vert \\
&=&\dfrac{(-1)^{2(k+1)-2i+1}}{\det B_{k+1}}\left\vert 
\begin{array}{ccccccc}
b_{1,1} & ... & b_{1,i-1} & b_{1,i+1} & ... & b_{1,k+1} & -Y_{1} \\ 
b_{i-1,1} & ... & b_{i-1,i-1} & b_{i-1,i+1} & ... & b_{i-1,k+1} & -Y_{i-1}
\\ 
b_{i+1,1} & ... & b_{i+1,i-1} & b_{i+1,i+1} & ... & b_{i+1,k+1} & -Y_{i+1}
\\ 
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ 
b_{k+1,1} & ... & b_{k+1,i-1} & b_{k+1,i+1} & ... & b_{k+1,k+1} & -Y_{k+1}
\\ 
b_{i,1} & ... & b_{i,i-1} & b_{i,i+1} & ... & b_{i,k+1} & -Y_{i}%
\end{array}%
\right\vert <0
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{lemma}
Si $B_{n}\ $\ est une M-matrice non singulire, alors pour tous $Y\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n},Y\leq 0\ $(resp $\geq 0$), la solution $X\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ de $B_{n}X=Y$ est non positive (resp non ngative) (i.e) $B_{n}$ est
monotone
\end{lemma}

\begin{proof}
Si $Y\leq 0$ par lemme $(4.1)$%
\begin{eqnarray*}
X_{i} &=&\dfrac{1}{\det B_{n}}\left\vert 
\begin{array}{ccccccc}
b_{1,1} & \ldots & b_{1,i-1} & Y_{1} & b_{1,i+1} & ... & b_{1,n} \\ 
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ 
b_{i-1,1} & \ldots & b_{i-1,i-1} & Y_{i-1} & b_{i-1,i+1} & ... & b_{i-1,n}
\\ 
b_{i,1} & \ldots & b_{i,i-1} & Y_{i} & b_{i,i+1} & ... & b_{i,n} \\ 
b_{i+1,1} & \ldots & b_{i+1,i-1} & Y_{i+1} & b_{i+1,i+1} & ... & b_{i+1,n}
\\ 
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ 
b_{n,1} & \ldots & b_{n,i-1} & Y_{n} & b_{n,i+1} & ... & b_{n,n}%
\end{array}%
\right\vert \\
&=&\dfrac{(-1)^{2n-2i}}{\det B_{n}}\left\vert 
\begin{array}{ccccccc}
b_{1,1} & ... & b_{1,i-1} & b_{1,i+1} & ... & b_{1,n} & Y_{1} \\ 
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ 
b_{i-1,1} & ... & b_{i-1,i-1} & b_{i-1,i+1} & ... & b_{i-1,n} & Y_{i-1} \\ 
b_{i+1,1} & ... & b_{i+1,i-1} & b_{i+1,i+1} & ... & b_{i+1,n} & Y_{i+1} \\ 
\vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ 
b_{n,1} & ... & b_{n,i-1} & b_{n,i+1} & ... & b_{n,n} & Y_{n} \\ 
b_{i,1} & ... & b_{i,i-1} & b_{i,i+1} & ... & b_{i,n} & Y_{i}%
\end{array}%
\right\vert
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{proof}
de thorme $(3.3)$

$1)$ La condition ncessaire:

Nous supposons que le principe de maximum est satisfait, on prouve par
induction sur $k$ que tous les mineurs principaux d'ordre $k$ extraits de $%
B_{n}$ sont positifs. Il rsulte du cas scalaire dans section prcdent que
le rsultat est valable pour $k=1.$

Supposons maintenant qu'il satisfait pour $k.$

$i)\ $Si $\det \ B_{k+1}<0,$ on choisi $Y\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ avec les composants $Y_{i}=1$ pour $\ 1\leq i\leq k+1,$ de $Y$ et de $%
X\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ avec les composants $X_{i},\ $nous drivons $X^{\prime }\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{k+1}\ $(resp $Y^{\prime }\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{k+1}$) avec les composants $X_{i}\ $(resp $Y_{i})$, $1\leq i\leq k+1.\ $

On peut choisi $X_{i}=0$ pour $k+2\leq i\leq n$ alors $B_{k+1}X^{\prime
}=Y^{\prime }.$ Par lemme $(1),$ $X_{i}<0$ pour $1\leq i\leq k+1.$

De plus on peut choisi $Y$ tel que $Y=B_{n}X$ avec $Y_{i}\geq 0$ pour $1\leq
i\leq n$ puisque le systme est coopratif.

Alors $U=\psi _{p^{\ast }}(X)\phi $ satisfait 
\begin{equation*}
-\Delta _{p}U=\Lambda X\psi _{p}(\phi )=(AX+Y)\psi _{p}(U)=A\psi _{p}(U)+F\ 
\end{equation*}

Avec $F=Y\psi _{p}(\phi )\geq 0$ qui est en contradiction avec le principe
de maximum.

$ii)$ Si $\det \ B_{k+1}=0,$ nous considrons avec les mmes notations que
ci-dessus, $X^{\prime }$ tel que $B_{k+1}X^{\prime }=0.$Comme $\det $ $%
B_{k}\neq 0,\ $ $X_{k+1}\neq 0$ nous pouvons prendre $X_{k+1}=-1,\ $alors $%
B_{k}X^{\prime }\leq 0.$

Par lemme $(1)$, $X_{i}\leq 0,$ et nous contredisons le principe de maximum

Il rsulte de $(i)$ et $(ii)$ que tous les principaux mineurs d'ordre $k+1$
extraits de $B_{n}$ sont positifs. Par consquent $\Lambda I-A$ est une
M-matrice non singulire.

$2)$ La condition suffisante:

Soit $U\in \left( W_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n}$ satisfait $(S_{NL})$ pour $%
F\geq 0.$

Multipliant $(S_{NL})$ par $u_{i}^{-}$ et intgrant sur $\Omega $, on
obtient:$\Rightarrow \ \ \ \ \tint\limits_{\Omega }\nabla u\nabla
u_{i}^{-}=\ \tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}\right\vert ^{p-2}u_{j}u_{i}^{-}+\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-}\
\ $%
\begin{equation*}
\ \ \ \ \tint\limits_{\Omega }(-\Delta
_{p}u_{i})u_{i}^{-}=\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{j}\right\vert ^{p-2}u_{j}u_{i}^{-}+\tint\limits_{\Omega
}f_{i}u_{i}^{-}
\end{equation*}

Alors%
\begin{eqnarray*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u_{i}^{-}\right\vert ^{p} &=&-\
\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}\right\vert ^{p-2}u_{j}u_{i}^{-}-\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-} \\
&=&-\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}^{+}\right\vert
^{p-2}(u_{j}^{+}-u_{j}^{-})u_{i}^{-}-\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-} \\
&=&-\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}^{+}\right\vert
^{p-2}u_{j}^{+}u_{i}^{-}+\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{j}^{-}\right\vert
^{p-2}u_{j}^{-}u_{i}^{-}-\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-} \\
&=&-a_{ii}\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{+}\right\vert
^{p-2}u_{i}^{+}u_{i}^{-}-\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}^{+}\right\vert
^{p-2}u_{j}^{+}u_{i}^{-}+\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{j}^{-}\right\vert
^{p-2}u_{j}^{-}u_{i}^{-}-\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-}
\end{eqnarray*}

Et comme $\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}^{+}\right\vert
^{p-2}u_{j}^{+}u_{i}^{-}=0$ et par $(3.14)$%
\begin{eqnarray*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla u_{i}^{-}\right\vert ^{p}
&=&-\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}^{+}\right\vert
^{p-2}u_{j}^{+}u_{i}^{-}+\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{j}^{-}\right\vert
^{p-2}u_{j}^{-}u_{i}^{-}-\tint\limits_{\Omega }f_{i}u_{i}^{-} \\
&\leq &\tsum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}^{-}\right\vert ^{p-2}u_{j}^{-}u_{i}^{-}=a_{ii}\tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{p}+\tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}^{-}\right\vert
^{p-2}u_{j}^{-}u_{i}^{-}
\end{eqnarray*}

Par $(4.1)$ et l'ingalit de \textbf{Holder}:%
\begin{equation*}
\Lambda \tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\leq
a_{ii}\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert
^{p}+\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}^{-}\right\vert ^{p-2}u_{j}^{-}u_{i}^{-}
\end{equation*}%
Alors%
\begin{eqnarray*}
(\Lambda -a_{ii})\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{p}
&\leq &\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}^{-}\right\vert ^{p-2}u_{j}^{-}u_{i}^{-} \\
&\leq &\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\left( \left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{j}^{-}\right\vert ^{p-2}u_{j}^{-}\right) ^{p^{\ast }}\right)
^{\frac{1}{^{p^{\ast }}}}\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{\frac{1}{p}}
\end{eqnarray*}

Comme $\dfrac{1}{p^{\ast }}+\dfrac{1}{p\ }=1\Rightarrow $\ $p^{\ast }=\dfrac{%
p}{p-1}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

Alors 
\begin{eqnarray*}
(\Lambda -a_{ii})\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{p}
&\leq &\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\left( \left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{j}^{-}\right\vert ^{p-2}u_{j}^{-}\right) ^{\frac{p}{p-1}%
}\right) ^{\frac{1}{^{p^{\ast }}}}\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{\frac{1}{p}} \\
&\leq &\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{j}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{\frac{1}{^{p^{\ast }}}}\left(
\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{\frac{1}{%
p}}
\end{eqnarray*}

Si $\tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\neq 0$, on
obtient:$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\begin{equation*}
\ \ (\Lambda -a_{ii})\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\right) \left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{\frac{-1}{p}}\leq \tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}^{-}\right\vert
^{p}\right) ^{\frac{1}{^{p^{\ast }}}}
\end{equation*}

Alors%
\begin{equation*}
(\Lambda -a_{ii})\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{1-\frac{1}{p}}\leq \tsum\limits_{j\neq
i}^{n}a_{ij}\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert u_{j}^{-}\right\vert
^{p}\right) ^{\frac{1}{^{p^{\ast }}}}
\end{equation*}

Donc%
\begin{equation*}
\ \ (\Lambda -a_{ii})\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{\frac{1}{^{p^{\ast }}}}\leq
\tsum\limits_{j\neq i}^{n}a_{ij}\left( \tint\limits_{\Omega }\left\vert
u_{j}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{\frac{1}{^{p^{\ast }}}}
\end{equation*}

Donc la matrice colonne $Z$ avec les lments $\left( \tint\limits_{\Omega
}\left\vert u_{i}^{-}\right\vert ^{p}\right) ^{\frac{1}{^{p^{\ast }}}}$
satisfait $(\Lambda I-A)Z=F$ o $F\leq 0.$

Comme $(\Lambda I-A)$ est une M-matrice non singulire et par lemme $(2)$
cela implique que $Z\leq 0$ et donc $U\geq 0.$
\end{proof}

\subsection{L'existence des solutions positives}

\ \ \ \ \ Dans cette partie, nous dmontrons l'existence \ de solutions
faibles positives pour le systme $(S_{NL}).$ 
\begin{equation}
f_{i}(x,U),\ 1\leq i\leq n\text{ sont des fonctions \textbf{Carathodory}} 
\tag{3.16}
\end{equation}

Et il existe $M>0$ et $0\leq \sigma <1$ satisfaisant 
\begin{equation}
0<f_{i}(x,U)\leq M(1+\left\vert u\right\vert ^{\sigma (p-1)})N,\text{ pour
tout }x\in \Omega \text{ et tout }u\geq 0.  \tag{3.17}
\end{equation}

Pour prouver le thorme de l'existence, nous utilisons la " sous-sur
solution".

\begin{definition}
Soit $A=D+E$ o $D$ est une matrice diagonal et $E$ est une matrice de
diagonal $0.$

On dit que $(U_{0},U^{0})\in \left( W_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{2n}$ est une
sous-sur solution de $(S_{NL})$ si 
\begin{equation*}
U_{0}\leq U^{0}\ \text{sur }\Omega
\end{equation*}
\end{definition}

Pour tout $U\in \left( W_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n},$ tel que $U_{0}\leq
U\leq U^{0},$ nous avons dans le sens de distribution%
\begin{equation}
-\Delta _{p}U_{0}-D\Psi _{p}(U_{0})-E\Psi _{p}(U)-F(x,(U\cup U_{0}))\leq
0\leq -\Delta _{p}U^{0}-D\Psi _{p}(U^{0})-E\Psi _{p}(U)-F(x,(U\cup U^{0})) 
\tag{3.18}
\end{equation}%
\begin{equation*}
U_{0}\leq 0\leq U^{0}\ \ \text{sur }\partial \Omega
\end{equation*}

O, pour tout $U,V\in \left( W_{0}^{1}(\Omega )\right) ^{n},$ la composante $%
k$ de$\ F(x,(U\cup V))$ est%
\begin{equation*}
F(x,(U\cup V))_{k}=f_{k}(x,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1},v_{k},u_{k+1},\ldots
,u_{n}).
\end{equation*}

Nous exigons maintenant

\begin{theorem}
Sous les hypothses $a_{ij}\geq 0\ $pour $i\neq j$ et $(\Lambda I-A)$ est
une M-matrice non singulire, alors pour tout $F\in \left( L^{P^{\ast
}}(\Omega )\right) ,$le systme $(S_{NL})$ admet une solution non ngative
\end{theorem}

\begin{proof}
Nous procdons en trois tapes:

$1)\ $Construction de sous-sur solution pour $(S_{NL}).$Par hypothse $%
(\Lambda I-A)$ est une M-matrice non singulire, par consquent$\ $%
\begin{equation*}
\Lambda >r
\end{equation*}%
O$\ r$ est la plus grande valeur propre de $A.$Alors, nous utilisons la
monotonie et la \ continuit de la premire valeur propre $\lambda
_{1}(P,\Omega )$ par rapport  $\Omega .$

On peut choisi $\widetilde{\Omega }\subset \cup \partial \Omega =\overline{%
\Omega }$ tel que $\Lambda =\lambda _{1}(P,\Omega )>\lambda _{1}(P,%
\widetilde{\Omega })>r.$

Donc 
\begin{equation*}
(\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })I-A)\text{ est une M-matrice non singuli%
re}
\end{equation*}

Nous dsignons par $\widetilde{\varphi }_{1}$ la fonction propre positive
associe  $\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })$ normalise: $\left\Vert 
\widetilde{\varphi }_{1}\right\Vert =1$ et par $\beta $ sa limite infrieure
sur $\Omega .$

On peut choisi $0<Y<\dfrac{M}{\beta }(1+\left\vert \delta \right\vert
^{\sigma (p-1)})(1,1,\ldots ,1)\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$

La solution $X\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ de 
\begin{equation}
(\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })I-A)X=Y  \tag{3.19}
\end{equation}

est positive par lemme $(2).$

Soit $U_{0}=0$ et $U^{0}=\psi _{p^{\ast }}(X)\widetilde{\varphi }_{1}.$

Par $(3.14),(3.17)$ et $(3.19),$ pour tout $U\in \left[ U_{0},U^{0}\right] \ 
$on obtient

\begin{eqnarray*}
-\Delta _{p}U^{0}-D\psi _{p}(U^{0})-E\psi _{p}(U)-F(x,(U\cup U^{0})) &\geq
&-\Delta _{p}U^{0}-D\psi _{p}(U^{0})-E\psi _{p}(U)-\beta Y \\
&\geq &(\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })I-D)\psi _{p}(U^{0})-E\psi
_{p}(U^{0}) \\
&&+E\left[ \psi _{p}(U^{0})-\psi _{p}(U^{0})\right] -\beta Y \\
&\geq &(\lambda _{1}(P,\widetilde{\Omega })I-A)\psi _{p}(\widetilde{\varphi }%
_{1})X-\beta Y\geq 0
\end{eqnarray*}

Par consquent $\left( U_{0},U^{0}\right) $ satisfait $(3.18).$

$2)$ Construction d'un ensemble invariant. En vue d'appliquer le thorme de
point fixe de Schauder\textbf{.}

Soient $\Sigma =\left[ L^{p}(\Omega )\right] ^{n}$ et $K=\left[ 0,U^{0}%
\right] $

Considrons $m>0$ tel que $m+a_{ii}>0$ pour tout $1\leq i\leq n.$

Ensuite, nous dfinissons l'oprateur non linaire $T:K\longrightarrow
\Sigma $ de la manire suivante: pour tout $u\in K,V=TU$ est la solution
unique du systme%
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{c}
-\Delta _{p}V+m\psi _{p}(V)=(mI+A)\psi (U)+F(x,U)\ \ \text{dans }\Omega \\ 
V=0\ \ \ \text{sur }\partial \Omega%
\end{array}%
\right.  \tag{$S_{NL}^{\prime }$}
\end{equation}

En effet, l'existence et l'unicit pour la solution de $(S_{NL}^{\prime })$
sont bien connues $([21],[4])$, de sorte que $T$ est bien dfini, de plus
pour tout $1\leq i\leq n$ la composante $V_{i}$ de $V$ est dans $%
W_{0}^{1}(\Omega )\cap L^{\infty }(\Omega )$ est positive

En outre 
\begin{equation*}
T(K)\subset K
\end{equation*}

Comme $U\in \left[ 0,U^{0}\right] ,$ par $(3.16),(3.18)$%
\begin{eqnarray}
0 &\geq &-\Delta _{p}V+mI\psi _{p}(V)-(mI+A)\psi _{p}(U)+F(x,U) 
\TCItag{3.20} \\
&&+\Delta _{p}U^{0}-m\psi _{p}(U^{0})+(mI+D)\psi _{p}(U^{0})+E\psi
_{p}(U)+\beta Y  \notag \\
&\geq &-\Delta _{p}V+\Delta _{p}U^{0}+mI\left[ \psi _{p}(V)-\psi _{p}(U^{0})%
\right] -(mI+D)\left[ \psi _{p}(U)-\psi _{p}(U^{0})\right]  \notag \\
&&+\beta Y-F(x,U)  \notag \\
&\geq &-\Delta _{p}V+\Delta _{p}U^{0}+mI\left[ \psi _{p}(V)-\psi _{p}(U^{0})%
\right]  \notag
\end{eqnarray}

Multiplions $(3.20)$ par $(V-U^{0})^{+}$ et intgrons sur $\Omega ,$ on
obtient:%
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left[ \psi _{p}(\nabla V)-\psi _{p}(\nabla U^{0})%
\right] \left[ \nabla (V-U^{0})^{+}\right] +m\tint\limits_{\Omega }\left[
\psi _{p}(V)-\psi _{p}(U^{0})\right] \left[ (V-U^{0})^{+}\right] \leq 0
\end{equation*}

Comme $\psi _{p}$ est une fonction dcroissante, $(V-U^{0})^{+}=0$ et $0\leq
V\leq U^{0}$

$3)$ $T$ est compltement continue.

D'abord nous prouvons que $T$ est compact

Soit $(U_{j})$ une suite borne dans $\left( L^{P}(\Omega )\right) ^{n},$
par consquent $\psi _{p}(U_{j})$ est borne dans $\left( L^{P^{\ast
}}(\Omega )\right) ^{n}$

Multiplions l'quation de systme $(S_{NL}^{\prime })$ par $V_{j}+TU_{j}$ on
obtient 
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left\vert \nabla V_{j}\right\vert
^{p}+m\tint\limits_{\Omega }\left\vert V_{j}\right\vert
^{p}=\tint\limits_{\Omega }(mI+A)\psi _{p}(U_{j})V_{j}+F(x,U_{j})V_{j}\leq C 
\left[ \tint\limits_{\Omega }\left\vert V_{j}\right\vert ^{p}\right] ^{\frac{%
1}{p}}
\end{equation*}

Donc, $V_{j}$ est borne dans $(W^{1,p}(\Omega ))^{n}$ et elle possde une
sous-suite convergente dans $(L^{p}(\Omega ))^{n}$

Maintenant, nous prouvons la continuit.

Soit $U_{j}\longrightarrow U$ dans $L^{p}(\Omega ),$ par thorem $(1)$ et $%
(2)$ ( ou par thorme de la convergence domin) on obtient 
\begin{equation}
F(x,U_{j})\longrightarrow F(x,U)\text{ dans }(L^{p^{\ast }}(\Omega ))^{n} 
\tag{3.21}
\end{equation}%
\begin{equation}
(mI+A)\psi _{p}(U_{j})\longrightarrow (mI+A)\psi _{p}(U)\ \text{ dans }%
(L^{p^{\ast }}(\Omega ))^{n}  \tag{3.22}
\end{equation}

Multiplions $(3.20)$ par $(V_{j}-V)$ et intgrons sur $\Omega $ on obtient 
\begin{eqnarray}
&&\tint\limits_{\Omega }\left[ \psi _{p}(\nabla V_{j})-\psi _{p}(\nabla V)%
\right] \left[ \nabla (V_{j}-V)\right] +m\tint\limits_{\Omega }\left[ \psi
_{p}(V_{j})-\psi _{p}(V)\right] \left[ (V_{j}-V)\right]  \TCItag{3.23} \\
&=&\tint\limits_{\Omega }(mI+A)\left[ \psi _{p}(U_{j})-\psi _{p}(U)\right]
(V_{j}-V)+\tint\limits_{\Omega }\left[ F(x,U_{j})-F(x,U)\right] (V_{j}-V) 
\notag
\end{eqnarray}

Il rsulte de $(3.21),(3.22)$ que le cot droit de $(3.23)$ tend vers zro
lorsque $j$ tend vers $+\infty $

C'est bien connu que l'ingalit suivante satisfaite%
\begin{equation}
\forall \xi ,\xi ^{\prime }\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n},\left\vert \xi -\xi ^{\prime }\right\vert ^{p}\leq C\left( \left[
\left\vert \xi \right\vert ^{p-2}\xi -\left\vert \xi ^{\prime }\right\vert
^{p-2}\xi ^{\prime }\right] (\xi -\xi ^{\prime })\right) ^{\frac{\alpha }{2}%
}\left( \left\vert \xi \right\vert ^{p}+\left\vert \xi ^{\prime }\right\vert
^{p}\right) ^{1-\frac{\alpha }{2}}  \tag{3.24}
\end{equation}

O 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
\alpha =p\ \ \ \ \text{si\ }1\leq p\leq 2 \\ 
\alpha =2\ \ \ \ \text{si}\ \ \ \ \ p>2.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Par $(3.24)$ et l'ingalit de \textbf{Holder,} applique \textbf{\ }la
partie gauche de $(3.24)$ on obtient 
\begin{equation*}
\tint\limits_{\Omega }\left[ \nabla V_{j}-\nabla V\right] ^{p}+m\tint%
\limits_{\Omega }\left\vert V_{j}-V\right\vert ^{p}\longrightarrow 0\text{ \
si }j\longrightarrow +\infty
\end{equation*}

Comme $K$ est un sous-ensemble convexe, born et ferm de $\Sigma $, nous
pouvons appliquer le thorme de point\textbf{\ }fixe de Schauder et obtenir
l'existence d'un point fixe de $T$ qui donne l'existence d'au moins une
solution de $(S_{NL}).$
\end{proof}

.\newpage\ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\begin{equation*}
\fbox{$\mathbf{Conclusion}$}
\end{equation*}%
Le principe de maximum et la mthode de sous-sur solution sont des mthodes
trs importantes pour prouver l'existence de solution positive et le dgr
topologique est une mthode puissante pour prouv l'unicit de cette
solution, cette mthode est la base des thorme de point fix trs outils
comme le point fix de Schauder.

.

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